Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {1 + \left( {z - 1} \right)i}

Câu hỏi số 690528:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {1 + \left( {z - 1} \right)i} \right| = 1\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\), giá trị lớn nhất của \(P = \left( {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right)\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)\) bằng \(a\sqrt b \) với \(a,b \in \mathbb{Z}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \(P = a + b\).

A. 5

B. 8.

C. 7 .

D. 6 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690528

Giải chi tiết

Ta có \(\left| {1 + (z - 1)i} \right| = 1 \Rightarrow \left| {z - 1 - i} \right| = 1\)

Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn \({z_1},{z_2}\).

Khi đó A, B thuộc đường tròn tâm \(I\left( {1,1} \right),R = 1\)

Do \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\) nên \(AB = 2\)\( \Rightarrow AB\) là đường kính của đường tròn tâm \(I\left( {1,1} \right),R = 1\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\left| {{z_1}} \right| - \left| {{z_2}} \right|} \right)\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right) = {\left| {{z_1}} \right|^2} - {\left| {{z_2}} \right|^2} = O{A^2} - O{B^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {OI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = {\overrightarrow {OI} ^2} + 2\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IA} + {\overrightarrow {IA} ^2} - \overrightarrow {O{I^2}} - 2\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {IB} - {\overrightarrow {IB} ^2}\\ = 2\overrightarrow {OI} \left( {\overrightarrow {IA} - \overrightarrow {IB} } \right) = 2\overrightarrow {OI} .\overrightarrow {BA} = 2OI.BA.\cos \left( {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {BA} } \right)\end{array}\)

Do OI, AB không đổi nên P lớn nhất khi \(\cos \left( {\overrightarrow {OI} ,\overrightarrow {BA} } \right) = 1\)

Khi đó \(P = 2OI.BA = 2.\sqrt 2 .2 = 4\sqrt 2 \Rightarrow a + b = 6\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.