Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right)\)

Câu hỏi số 690529:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;1;2} \right)\) bán kính \(R = 1\). Xét điểm \(M\) thay đổi trên \(\left( P \right)\). Khối nón \(\left( N \right)\) có đỉnh là \(I\) và đường tròn đáy là đường tròn đi qua tất cả các tiếp điểm của tiếp tuyến kẻ từ \(M\) đến \(\left( S \right)\). Khi \(\left( N \right)\) có thể tích lớn nhất, mặt phẳng chứa đường tròn đáy của \(\left( N \right)\) có phương trình là \(x + ay + bz + c = 0\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng

A. 0 .

B. -2 .

C. 2 .

D. 3 .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690529

Giải chi tiết

Giả sử tập hợp các tiếp điểm kẻ từ M đến mặt cầu hình tròn tâm H

Đặt \(IH = x \Rightarrow HN = \sqrt {I{N^2} - {x^2}} = \sqrt {1 - {x^2}} \)

\( \Rightarrow \)Thể tích hình nón tâm I, đáy là đường tròn tâm H là \(V = \dfrac{1}{3}\pi \left( {1 - {x^2}} \right).x = \dfrac{1}{3}\left( { - {x^2} + x} \right)\)

\( \Rightarrow V' = \dfrac{1}{3}\pi .\left( { - 3{x^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Suy ra V đạt GTLN khi \(x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow IH = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow IM = \dfrac{{I{N^2}}}{{IH}} = \sqrt 3 \)

Đặc biệt \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 1 + 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \sqrt 3 = IM\)

\( \Rightarrow \)M là hình chiếu vuông góc của I lên (P)

Phương trình đường thẳng IM qua I(0,1,2), \(\overrightarrow {{u_{IM}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1,1,1} \right) \Rightarrow IM:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + t\\z = 2 + t\end{array} \right.\)

Gọi \(M\left( {t,1 + t,2 + t} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow t = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1,0,1} \right)\)

Do \(H \in IM \Rightarrow H\left( {t,1 + t,2 + t} \right)\)

\( \Rightarrow I{H^2} = 3{t^2} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow t = \pm \dfrac{1}{3} \Rightarrow H\left( {\dfrac{1}{3},\dfrac{4}{3},\dfrac{7}{3}} \right)\) hoặc \(H\left( {\dfrac{{ - 1}}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}} \right)\)

Do \(\overrightarrow {HI} ,\overrightarrow {HM} \) ngược hướng nên \(H\left( {\dfrac{{ - 1}}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}} \right)\)

Mặt phẳng chứa đường tròn đáy qua \(H\left( {\dfrac{{ - 1}}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{3}} \right)\) và song song với (P) có \(\overrightarrow n = \left( {1,1,1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x + \dfrac{1}{3} + y - \dfrac{2}{3} + z - \dfrac{5}{3} = 0\\ \Leftrightarrow x + y + z - 2 = 0\end{array}\)

Vậy \(a + b + c = 1 + 1 - 2 = 0\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.