Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{x + y}} =

Câu hỏi số 690530:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{x + y}} = x\left( {2 - x} \right) + y\left( {2 - y} \right) + 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{2x + 3y}}{{x + y + 1}}.{\rm{\;}}\)

A. 1 .

B. 2 .

C. \(\dfrac{1}{2}\).

D. 8 .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:690530

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng

Giải chi tiết

Điều kiện \(x + y > 0\)

\(\begin{array}{l}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{x + y}} = x\left( {2 - x} \right) + y\left( {2 - y} \right) + 1\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\dfrac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{x + y}} = 2\left( {x + y} \right) - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) - 2{\log _2}\left( {x + y} \right) = 2\left( {x + y} \right) - \left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 1\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = 2{\log _2}\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + y} \right) + 2\\ \Leftrightarrow 2{\log _2}\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) + \left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = 2{\log _2}2\left( {x + y} \right) + 2\left( {x + y} \right)\end{array}\)

Xét hàm \(f\left( t \right) = 2{\log _2}t + t\) với \(t > 0\)

\( \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{2}{{t.\ln 2}} + 1 > 0\) với mọi \(t > 0\)

\( \Rightarrow f\left( t \right)\) luôn đồng biến với \(t > 0\)

\( \Rightarrow f\left( {{x^2} + {y^2} + 1} \right) = f\left( {2x + 2y} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 1 = 2x + 2y\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\)

Do \(\left( {x,y} \right) \in \) đường tròn tâm I(1,1), bán kính 1 nên \(0 \le x \le 2;0 \le y \le 2\)

\(P = \dfrac{{2x + 3y}}{{x + y + 1}} = 2 + \dfrac{{y - 2}}{{x + y + 1}} \le 2\) do \(\left\{ \begin{array}{l}y - 2 \le 0\\x + y + 1 > 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {P_{\max }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.