Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 3\;{\rm{cm}},AC = 4\;{\rm{cm}}\). Đường tròn tâm \(B\) bán

Câu hỏi số 692131:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AB = 3\;{\rm{cm}},AC = 4\;{\rm{cm}}\). Đường tròn tâm \(B\) bán kính \(BA\) và đường tròn tâm \(C\) bán kính \(CA\) cắt nhau tại điểm thứ hai \(D\).

a) Chứng minh tứ giác \(ABDC\) nội tiếp được.

b) Tính độ dài đoạn \(AD\).

c) Một đường thẳng \(d\) quay quanh \(A\) cắt \((B)\) tại \(E(E \ne A)\) và cắt \((C)\) tại \(F(F \ne A)\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(EB\) và \(FC\). Khi \(d\) thay đổi thì điểm \(M\) chạy trên đường nào?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:692131

Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất hình học để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Xét hai tam giác \(ABC\) và \(DBC\) có:

\(AB = DB = 3(\;cm);AC = DC = 4(\;cm);BC\) chung;

Suy ra \(\Delta ABC = \Delta DBC\) (c-c-c)

Suy ra \(\angle {BAC} = \angle {BDC} = 90^\circ \Rightarrow \angle {BAC} + \angle {BDC} = 180^\circ \).

Vậy \(ABDC\)là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi \(H\) là giao điềm của \(BC\) với \(AD\); khi đó \(BC \bot AD\) hay \(AH\) là đường cao \(\Delta ABC\).

Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào \(\Delta ABC\) ta có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB \cdot AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{3.4}}{{\sqrt {{3^3} + {4^2}} }} = \dfrac{{12}}{5}.\)

Do đó, \(AD = 2AH = 2 \cdot \dfrac{{12}}{5} = \dfrac{{24}}{5}(\;cm)\).

c) Trong \(\Delta MEF\) có: \(\angle {EMF} + \angle {MEF} + \angle {MFE} = 180^\circ (1)\).

\(\Delta BAE\) cân tại \(B(BA = BE)\) suy ra \(\angle {BEA} = \angle {BAE}\) (2). Tương tự, \(\angle {CFA} = \angle {CAF}\) (3).

Ta có: \(\angle {BAE} + \angle {BAC} + \angle {CAF} = 180^\circ \) (4). Kết hợp (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\angle {BMC} = 90^\circ \).

Khi \(d\) thay đổi quanh \(A\), điểm \(M\) luôn nhìn đoạn thẳng \(BC\) cố định dưới 1 góc vuông nên \(M\) chạy trên đường tròn đường kính \(BC\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link