Biết phương trình \({\log _4}\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _7}\left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} -

Câu hỏi số 693528:

Vận dụng

Biết phương trình \({\log _4}\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _7}\left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right)\) có một nghiệm dạng \(x = a + b\sqrt 2 \)trong đó a,b là các số nguyên. Tính 2a + b.

A. 3.

B. 8.

C. 4.

D. 5.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:693528

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: x > 1

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _4}\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _7}\left( {\dfrac{{\sqrt x }}{2} - \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right) \Leftrightarrow {\log _4}\dfrac{{2\sqrt x + 1}}{x} = 2{\log _7}\left( {\dfrac{{x - 1}}{{2\sqrt x }}} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _4}\left( {2\sqrt x + 1} \right) - {\log _4}x = 2{\log _7}\left( {x - 1} \right) - 2{\log _7}\left( {2\sqrt x } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _4}\left( {2\sqrt x + 1} \right) + 2{\log _7}\left( {2\sqrt x } \right) = {\log _4}x + 2{\log _7}\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _4}t + 2{\log _7}\left( {t - 1} \right),t \in \left( {1; + \infty } \right)\), có:\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t.\ln 4}} + \dfrac{2}{{\left( {t - 1} \right).\ln 7}} > 0,\forall t \in (1; + \infty )\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Khi đó, phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {2\sqrt x + 1} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow 2\sqrt x + 1 = x \Leftrightarrow x - 2\sqrt x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt x = 1 + \sqrt 2 }\\{\sqrt x = 1 - \sqrt 2 < 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt x = 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow x = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} = 3 + 2\sqrt 2 \Rightarrow a = 3,b = 2 = > 2a + b = 2.3 + 2 = 8\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.