Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {2z - 4 + 7i} \right| = 4\). Biểu thức \(P = 3\left| {z - 2 + i} \right|

Câu hỏi số 693529:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {2z - 4 + 7i} \right| = 4\). Biểu thức \(P = 3\left| {z - 2 + i} \right| + 5\left| {z - 2 + 5i} \right|\) có giá trị lớn nhất bằng \(M\) khi \(z \in S\). Gọi \(N\) là số phần tử của \(S\). Giá trị \({M^N}\) bằng

A. 25.

B. 496.

C. 24.

D. 247.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:693529

Phương pháp giải

+ Gọi \(K\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z \Rightarrow 3\left| {z - 2 + i} \right| + 5\left| {z - 2 + 5i} \right| = 3KA + 5KB\) với

\(A\left( {2; - 1} \right),\,\,B\left( {2; - 5} \right)\)

+ Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski.

Giải chi tiết

Gọi \(K\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(z = x + yi\,\,\left( {x,\,y \in R} \right)\) với

\(\left| {2z - 4 + 7i} \right| = 4 \Leftrightarrow 2\left| {z - 2 + \dfrac{7}{2}i} \right| = 4 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + \dfrac{7}{2}} \right)^2} = 4\)

Suy ra tập hợp điểm K là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2; - \dfrac{7}{2}} \right)\), bán kính \({\rm{R}} = 2.\)

Ta có: \(P = 3\left| {z - 2 + i} \right| + 5\left| {z - 2 + 5i} \right| = 3KA + 5KB = \sqrt 3 .\sqrt 3 KA + \sqrt 5 .\sqrt 5 KB \le \sqrt {8\left( {3K{A^2} + 5K{B^2}} \right)} \)

Với \(A\left( {2; - 1} \right),\,\,B\left( {2; - 5} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và \(IA = \dfrac{5}{2},\,\,IB = \dfrac{3}{2}.\)

Mà \(3K{A^2} + 5K{B^2} = 3{\overrightarrow {KA} ^2} + 5{\overrightarrow {KB} ^2} = 3{\left( {\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 5{\left( {\overrightarrow {KI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)

\( = 8K{I^2} + 3I{A^2} + 5I{B^2} + 2\overrightarrow {KI} .\left( {3\overrightarrow {IA} + 5\overrightarrow {IB} } \right) = {8.2^2} + 3.{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)^2} + 5.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} = 62\)

\( \Rightarrow P \le \sqrt {8.62} = 4\sqrt {31} \)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(K \in \left( C \right)\) và \(KA = KB \Leftrightarrow K\) là giao điểm của đường tròn (C) và đường trung trực d của AB.

\(\left( d \right)y + 3 = 0 \Rightarrow \,\,d\left( {I;d} \right) = \dfrac{1}{2} < R.\)

Do đó d cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \( \Rightarrow N = 2,\,\,M = 4\sqrt {31} \Rightarrow {M^N} = 496\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.