Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Xét các số thực x, y thỏa mãn \({\log _2}x + {\log _3}(x - y) = {\log _2}y + {\log _3}(2x +

Câu hỏi số 693546:
Vận dụng

Xét các số thực x, y thỏa mãn \({\log _2}x + {\log _3}(x - y) = {\log _2}y + {\log _3}(2x + y) + 1\left( * \right)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Đúng Sai
a) Không tồn tại cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn \(x + y = 24\) và thỏa mãn \((*)\).
b) Có đúng 5 cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn \(y \le 20\) và thỏa mãn \((*)\).
c) Có đúng 4 cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} \le 100\) và thỏa mãn \((*)\).
d) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {y^2} - x\) là -4 .

Đáp án đúng là: S; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:693546
Giải chi tiết

\({\log _2}x + {\log _3}(x - y) = {\log _2}y + {\log _3}(2x + y) + 1\left( * \right)\)

Điều kiện \(x > y > 0\)

\(\begin{array}{l}{\log _2}x + {\log _3}(x - y) = {\log _2}y + {\log _3}(2x + y) + 1\left( * \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}x - {\log _2}y = {\log _3}(2x + y) + 1 - {\log _3}(x - y)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{x}{y} = {\log _3}\dfrac{{3\left( {2x + y} \right)}}{{x - y}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\dfrac{x}{y} = {\log _3}\dfrac{{6.\dfrac{x}{y} + 3}}{{\dfrac{x}{y} - 1}}\end{array}\)

Đặt \(t = \dfrac{x}{y}\left( {t > 0} \right) \Rightarrow {\log _2}t = {\log _3}\dfrac{{6t + 3}}{{t - 1}}\)

\(\begin{array}{l}f\left( t \right) = {\log _2}t - \dfrac{{6t + 3}}{{t - 1}}\\ \Rightarrow f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t.\ln 2}} + \dfrac{9}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} > 0\forall t > 0\end{array}\)

Mà \(f\left( 4 \right) = 0\) nên phương trình có nghiệm duy nhất \(t = 4 \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = 4 \Leftrightarrow x = 4y\)

1. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4y\\x + y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{96}}{5}\\y = \dfrac{{24}}{5}\end{array} \right.\)

2. Với \(y \le 20 \Rightarrow x = 20y\) có tương ứng 20 cặp (x,y) thỏa mãn

3. \({x^2} + {y^2} \le 100 \Leftrightarrow {\left( {4y} \right)^2} + {y^2} \le 100 \Leftrightarrow {y^2} \le \dfrac{{100}}{{17}} \Rightarrow y \in \left\{ {1,2,,5} \right\}\)

Vậy có 5 cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn.

4. \(P = {y^2} - x = {y^2} - 4y = {\left( {y - 2} \right)^2} - 4 \ge  - 4\) nên \(P\) đạt GTNN bằng -4

Vậy 1 sai. 2 sai, 3 đúng, 4 đúng

Đáp án cần chọn là: S; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn