Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số \(y = \left( {3{m^2} - 12} \right){x^3} + 3(m - 2){x^2} - x + 2\) (tham số \(m\) ). Khi

Câu hỏi số 695079:
Vận dụng

Cho hàm số \(y = \left( {3{m^2} - 12} \right){x^3} + 3(m - 2){x^2} - x + 2\) (tham số \(m\) ). Khi đó

Đúng Sai
a)

Khi \(m = 0\) thì hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
b)

Khi m = - 2 thì hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
c)

Có 3 giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)
d) Tổng bình phương của tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) là 5

Đáp án đúng là: S; S; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:695079
Phương pháp giải

Tính đạo hàm $y'$ của hàm số.

Hàm số đa thức bậc ba nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y' \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$ (dấu "=" xảy ra tại hữu hạn điểm).

Xét hai trường hợp của hệ số $a$ trong đa thức đạo hàm $y'$:

Trường hợp 1: $a = 0$, thay trực tiếp vào $y'$ để kiểm tra tính đơn điệu.

Trường hợp 2: $a \neq 0$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' \le 0 \end{cases}$.

Giải chi tiết

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có đạo hàm: $y' = 3(3m^2 - 12)x^2 + 6(m - 2)x - 1 = 9(m^2 - 4)x^2 + 6(m - 2)x - 1$.

Xét ý a: Khi $m = 0$, ta có $y' = 9(0 - 4)x^2 + 6(0 - 2)x - 1 = -36x^2 - 12x - 1 = -(6x + 1)^2$.

Vì $-(6x + 1)^2 \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$ và $y' = 0$ chỉ tại $x = -\frac{1}{6}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Mệnh đề a sai.

Xét ý b: Khi $m = -2$, ta có $y' = 9((-2)^2 - 4)x^2 + 6(-2 - 2)x - 1 = -24x - 1$.

Cho $y' \le 0 \Leftrightarrow -24x - 1 \le 0 \Leftrightarrow x \ge -\frac{1}{24}$. Đạo hàm đổi dấu khi qua $x = -\frac{1}{24}$ nên hàm số không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Mệnh đề b sai.

Xét ý c: Để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ thì $y' \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$.

Trường hợp 1: Hệ số $a = 0 \Leftrightarrow 9(m^2 - 4) = 0 \Leftrightarrow m = 2$ hoặc $m = -2$.

Với $m = 2$, ta có $y' = -1 < 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vậy $m = 2$ thỏa mãn.

Với $m = -2$, ta có $y' = -24x - 1$ (loại vì không thỏa mãn $y' \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$ như đã xét ở ý b).

Trường hợp 2: Hệ số $a \neq 0 \Leftrightarrow 9(m^2 - 4) \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 2$.

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \le 0, \forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' \le 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 9(m^2 - 4) < 0 \\ [3(m - 2)]^2 - 9(m^2 - 4)(-1) \le 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m^2 - 4 < 0 \\ 9(m^2 - 4m + 4) + 9m^2 - 36 \le 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -2 < m < 2 \\ 18m^2 - 36m \le 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -2 < m < 2 \\ 0 \le m \le 2 \end{cases} \Leftrightarrow 0 \le m < 2$.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta được các giá trị của $m$ thỏa mãn là $0 \le m \le 2$.

Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \{0; 1; 2\}$. Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Mệnh đề c đúng.

Xét ý d: Các giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là $0, 1$ và $2$.

Tổng bình phương của tất cả các giá trị này là: $0^2 + 1^2 + 2^2 = 0 + 1 + 4 = 5$.

Mệnh đề d đúng.

Đáp án cần chọn là: S; S; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →