Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm đa thức có đồ thị hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) như hình

Câu hỏi số 696243:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm đa thức có đồ thị hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m,m \in Z, - 2020 < m < 2020\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^2}} \right) + m{x^2}\left( {{x^2} + \dfrac{8}{3}x - 6} \right)\) đồng biến trên khoảng \(( - 3;0)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:696243

Giải chi tiết

Ta có \({g^\prime }(x) = 2x{f^\prime }\left( {{x^2}} \right) + 4mx\left( {{x^2} + 2x - 3} \right)\).

Hàm số \(g(x)\) đồng biến trên khoảng \(( - 3;0)\) suy ra \({g^\prime }(x) \ge 0,\forall x \in ( - 3;0)\).

\(\begin{array}{l}{\mkern 1mu} 2x{f^\prime }\left( {{x^2}} \right) + 4mx\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) \ge 0,\forall x \in ( - 3;0)\\ \Leftrightarrow {f^\prime }\left( {{x^2}} \right) - 2m\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right) \le 0,\forall x \in ( - 3;0)\\ \Leftrightarrow {f^\prime }\left( {{x^2}} \right) \le 2m\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right),\forall x \in ( - 3;0)\\ \Leftrightarrow m \ge \dfrac{{{f^\prime }\left( {{x^2}} \right)}}{{2\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)}},\forall x \in ( - 3;0)\\ \Leftrightarrow m \ge {\max _{( - 3;0)}}\dfrac{{{f^\prime }\left( {{x^2}} \right)}}{{2\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)}}\end{array}\)

Ta có \( - 3 < x < 0 \Rightarrow 0 < {x^2} < 9 \Rightarrow {f^\prime }\left( {{x^2}} \right) \le - 3\). Dấu "=" khi \({x^2} = 1 \Leftrightarrow x = - 1\).

Ta có \( - {x^2} - 2x + 3 = - {(x + 1)^2} + 4\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 < - {x^2} - 2x + 3 \le 4,\forall x \in ( - 3;0)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{ - {x^2} - 2x + 3}} \ge \dfrac{1}{4}\end{array}\)

dấu “=” xảy ra khi \(x = - 1\)

Suy ra \(\dfrac{{{f^\prime }\left( {{x^2}} \right)}}{{2\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)}} \le \dfrac{{ - 3}}{{2.4}} = \dfrac{{ - 3}}{8},\forall x \in ( - 3;0)\), dấu "=" khi \(x = - 1\).

\( \Rightarrow {\max _{( - 3;0)}}\dfrac{{{f^\prime }\left( {{x^2}} \right)}}{{2\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}} = - \dfrac{3}{8}\)

Vậy \(m \ge - \dfrac{3}{8}\), mà \(m \in \mathbb{Z}, - 2020 < m < 2020\) nên có 2020 giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.