Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m}

Câu hỏi số 696244:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 12x + 2m} \right|\) luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:696244

Giải chi tiết

Xét \(f\left( x \right) = {x^3} - m{x^2} + 12x + 2m\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\rm{ \;}} + \infty } f\left( x \right) = {\rm{ \;}} + \infty \) nên để \(\left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty } \right)}\\{f\left( 1 \right) \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty } \right)}&{\left( 1 \right)}&{}&{}\\{m + 13 \ge 0}&{{\rm{ \;}}}&{{\rm{ \;}}}&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Xét \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 2mx + 12 \ge 0 \Leftrightarrow 2mx \le 3{x^2} + 12 \Leftrightarrow 2m \le 3x + \dfrac{{12}}{x}\)

Xét \(g\left( x \right) = 3x + \dfrac{{12}}{x},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\(g'\left( x \right) = 3 - \dfrac{{12}}{{{x^2}}} = \dfrac{{3{x^2} - 12}}{{{x^2}}}\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{3{x^2} - 12}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = {\rm{ \;}} - 2{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( L \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có bảng biến thiên:

Để \(2m \le g\left( x \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall x > 1 \Leftrightarrow 2m \le 12 \Leftrightarrow m \le 6\)

Từ (1) và (2) suy ra \( - 13 \le m \le 6\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 13; - 12; \ldots ;5;6} \right\}\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.