Cho hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 4m^{2} - 2$ có đồ thị $(C)$ và điểm $C(1;4)$. Tính tổng các

Câu hỏi số 696438:

Vận dụng

Cho hàm số $y = x^{3} - 3mx^{2} + 4m^{2} - 2$ có đồ thị $(C)$ và điểm $C(1;4)$. Tính tổng các giá trị nguyên dương của $m$ để $(C)$ có hai điểm cực trị A,B sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 4 .

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:696438

Phương pháp giải

Tìm toạ độ các điểm cực trị và lập phương trình diện tích tìm m

Giải chi tiết

Ta có $\left. y' = 3x^{2} - 6mx = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 2m} \end{array} \right. \right.$

Đồ thị $(C)$ có hai điểm cực trị $\left. \Leftrightarrow 2m \neq 0\Leftrightarrow m \neq 0 \right.$.

Khi đó $\left. A\left( {0;4m^{2} - 2} \right),B\left( {2m; - 4m^{3} + 4m^{2} - 2} \right)\Rightarrow AB = \sqrt{4m^{2} + 16m^{6}}\ \ = 2 \middle| m \middle| \sqrt{4m^{4} + 1} \right.$

Phương trình đường thẳng AB là: $\left. \dfrac{x - 0}{2m - 0} = \dfrac{y - \left( {4m^{2} - 2} \right)}{- 4m^{3}}\Leftrightarrow 2m^{2}x + y - 4m^{2} + 2 = 0 \right.$

$d(C,AB) = \dfrac{\left| {2m^{2} + 4 - 4m^{2} + 2} \right|}{\sqrt{4m^{4} + 1}} = \dfrac{2\left| {m^{2} - 3} \right|}{\sqrt{4m^{4} + 1}}$

Diện tích tam giác ABC là

$\left. S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot d(C,AB) = 4\Leftrightarrow\dfrac{1}{2} \cdot 2 \middle| m \middle| \cdot \sqrt{4m^{4} + 1}\ \ \cdot \dfrac{2\left| {m^{2} - 3} \right|}{\sqrt{4m^{4} + 1}} = 4 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left| {m\left( {m^{2} - 3} \right)} \right| = 2\Leftrightarrow m^{6} - 6m^{4} + 9m^{2} - 4 = 0\Leftrightarrow\left( {m^{2} - 1} \right)^{2}\left( {m^{2} - 4} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = \ \ \pm 1} \\ {m = \ \ \pm 2} \end{array} \right. \right.$

Do $m$ nguyên dương nên ta được $m = 1,m = 2$, tổng thu được là 3 .

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.