Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[

Câu hỏi số 696651:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1;3} \right]\) và \(f\left( x \right) \ne 0,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\), đồng thời \(f'\left( x \right) . {(1 + f\left( x \right))^2} = {\left[ {{f^2}\left( x \right).\left( {x - 1} \right)} \right]^2}\) và \(f\left( 1 \right) = - 1\). Biết rằng \(\int\limits_2^3 {f\left( x \right)} dx = a{\rm{ln}}3 + b{\rm{ln}}2,\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính tổng \(S = {a^2} + {b^2}\).

A. \(S = 4\).

B. \(S = 1\).

C. \(S = 0\).

D. \(S = 2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:696651

Phương pháp giải

Biến đổi \({f^\prime }(x){(1 + f(x))^2} = {\left[ {{f^2}(x) . (x - 1)} \right]^2} \Leftrightarrow \dfrac{{{f^\prime }(x){{(1 + f(x))}^2}}}{{{f^4}(x)}} = {(x - 1)^2}\) sau đó lấy nguyên hàm 2 vế.

Giải chi tiết

Ta có: \({f^\prime }(x){(1 + f(x))^2} = {\left[ {{f^2}(x) . (x - 1)} \right]^2} \Leftrightarrow \dfrac{{{f^\prime }(x){{(1 + f(x))}^2}}}{{{f^4}(x)}} = {(x - 1)^2}\)

Lấy nguyên hàm 2 vế

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{{f^\prime }(x){{(1 + f(x))}^2}}}{{{f^4}(x)}}} dx = \int {{{(x - 1)}^2}} dx\\ \Leftrightarrow \int {\dfrac{{\left( {1 + 2f(x) + {f^2}(x)} \right){f^\prime }(x)}}{{{f^4}(x)}}} dx = \dfrac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\\ \Leftrightarrow \int {\left( {\dfrac{1}{{{f^4}(x)}} + \dfrac{2}{{{f^3}(x)}} + \dfrac{1}{{{f^2}(x)}}} \right)} d(f(x)) = \dfrac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{3{f^3}(x)}} - \dfrac{1}{{{f^2}(x)}} - \dfrac{1}{{f(x)}} = \dfrac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} = \dfrac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + C\end{array}\)

Mà \(f(1) = - 1 \Rightarrow - \dfrac{{1 - 3 + 3}}{{ - 3}} = C \Rightarrow C = \dfrac{1}{3}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{3{f^3}(x)}} = \dfrac{{{{(x - 1)}^3}}}{3} + \dfrac{1}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 + 3f(x) + 3{f^2}(x)}}{{{f^3}(x)}} + 1 = - {(x - 1)^3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{{(1 + f(x))}^3}}}{{{f^3}(x)}} = - {(x - 1)^3}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{{f(x)}} + 1} \right)^3} = {(1 - x)^3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{f(x)}} + 1 = 1 - x\\ \Leftrightarrow f(x) = \dfrac{{ - 1}}{x}\end{array}\)

\( \Rightarrow \int_2^3 f (x)dx = \int_2^3 {\dfrac{{ - 1}}{x}} dx = - \left. {\ln |x|} \right|_2^3 = - \ln 3 + \ln 2.\)

Vậy \(a = - 1;b = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.