Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(2a,\,\,\angle ABC = 120^\circ \). Hình

Câu hỏi số 697006:

Vận dụng

Cho khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(2a,\,\,\angle ABC = 120^\circ \). Hình chiếu vuông góc của \(D'\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với giao điểm của \(AC\) và \(BD\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ADD'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng \(60^\circ \). Thể tích \(V\) của khối hộp đã cho bằng

A. \(V = \sqrt 3 {a^3}\).

B. \(V = 3\sqrt 3 {a^3}\).

C. \(V = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{4}\).

D. \(V = \dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697006

Phương pháp giải

- Dựng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ADD'A'} \right)\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\)

- Tính đường cao

- Tính thể tích

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\)

Kẻ \(OI \bot AD\,\,\left( {I \in AD} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}D'O \bot AD\\OI \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {D'OI} \right) \bot AD\)

Khi đó \(\left( {\left( {ADD'A'} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = \left( {\left( {ADD'A'} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle D'IO\)

Theo giả thiết \(\angle D'IO = 60^\circ \)

Vì \(\angle ABC = 120^\circ \Rightarrow \angle BAD = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABD\) đều

Khi đó \(\angle OAI = 30^\circ \)

Ta có: \(\Delta ABD\) đều nên \(AO = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow OI = AO\sin \angle OAI = a\sqrt 3 .\dfrac{1}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow D'O = OI\tan \angle D'IO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{3a}}{2}\end{array}\)

Thể tích của khối hộp là \(V = {S_{ABCD}}.D'O = 2.\dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = 3\sqrt 3 {a^3}\)

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.