Xét \(f\left( x \right) = a{x^5} + b{x^3} + c{x^2} + dx + 3\,\,\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)\) sao cho

Câu hỏi số 697007:

Vận dụng

Xét \(f\left( x \right) = a{x^5} + b{x^3} + c{x^2} + dx + 3\,\,\left( {a,b,c,d,e \in \mathbb{R}} \right)\) sao cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có 4 điểm cực trị với hoành độ nguyên là \(A,B,C\left( {1; - \dfrac{{197}}{{15}}} \right),D\left( {2; - \dfrac{{169}}{{15}}} \right)\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc ba đi qua các điểm \(A,B,C,D\). Khi diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 1,\,\,x = 2\) có diện tích bằng \(\dfrac{{11}}{{20}}\) thì \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{m}{n}\) với \(m,\,\,n\) nguyên dương và phân số \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. Tính \(S = m.n\)

A. \(S = 486\).

B. \(S = - 486\).

C. \(S = 4860\).

D. \(S = 2430\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:697007

Phương pháp giải

Với \(f\left( x \right) = h\left( x \right).f'\left( x \right) + g\left( x \right)\) thì \(g\left( x \right)\) đi qua các điểm cực trị của \(f\left( x \right)\)

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 5a{x^4} + 3b{x^2} + 2cx + d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{5}xf'\left( x \right) + g\left( x \right)\\ \Rightarrow g\left( x \right) - f\left( x \right) = \dfrac{1}{5}xf'\left( x \right)\end{array}\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 1,\,\,x = 2\) là \(S = \dfrac{1}{5}\int\limits_1^2 {\left| {xf'\left( x \right)} \right|dx} = \dfrac{1}{5}\int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)dx} \)

Theo giả thiết \(S = \dfrac{{11}}{{20}} \Rightarrow \dfrac{1}{5}\int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)dx} = \dfrac{{11}}{{20}} \Rightarrow \int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)dx} = \dfrac{{11}}{4}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Khi đó \(\int\limits_1^2 {xf'\left( x \right)dx} = \left. {xf\left( x \right)} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \Rightarrow \dfrac{{11}}{4} = 2f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) - \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \)

\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} = - \left( {\dfrac{{11}}{4} - 2.\left( { - \dfrac{{169}}{{15}}} \right) + \dfrac{{197}}{{15}}} \right) = - \dfrac{{243}}{{20}}\)

Do đó \(m.n = 243.20 = 4860\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.