Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai đội công nhân \(A\) và \(B\) làm chung một

Câu hỏi số 697472:

Vận dụng

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Hai đội công nhân \(A\) và \(B\) làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong 12 ngày. Khi làm chung được 8 ngày thì đội \(A\) được điều động đi làm việc khác, đội \(B\) tiếp tục làm phần việc còn lại. Kể từ khi làm một mình, do cải tiến cách làm nên năng suất của đội \(B\) tăng gấp đôi, do đó đội \(B\) đã hoàn thành phần việc còn lại trong 8 ngày tiếp theo. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội làm một mình sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu?

Phương pháp giải

Gọi thời gian một mình hoàn thành công việc của đội A và \({\rm{B}}\) lần lượt là \(x\) và \(y\) (ngày) (ĐK: \(x,y \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)).
Tính được mỗi ngày đội \(A\) và đội \(B\) làm được bao nhiêu phần của công việc.
Từ giả thiết: hai đội làm chung và dự định hoàn thành công việc trong 12 ngày nên ta lập được phương trình (1).
Từ giả thiết còn lại ta lập được phương trình (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình.
Giải hệ phương trình bày bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết

Gọi thời gian một mình hoàn thành công việc của đội A và B lần lượt là \(x\) và \(y\) ngày (ĐK: \(x,y \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\)).
\( \Rightarrow \) Mỗi ngày đội \({\rm{A}}\) làm được \(\dfrac{1}{x}\) công việc, mỗi ngày đội \(B\) làm được \(\dfrac{1}{y}{\rm{\;}}\) công việc.
Vì hai đội làm chung và dự định hoàn thành công việc trong 12 ngày nên ta có phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}\left( 1 \right)\).
Khi làm chung được 8 ngày thì 2 đội làm được \({\rm{8}}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right){\rm{\;}}\) công việc.
8 ngày tiếp theo đội \({\rm{B}}\) làm được \(\dfrac{8}{y}{\rm{\;}}\) công việc.

Vì khi làm chung được 8 ngày thì đội \(A\) được điều động đi làm việc khác, đội \(B\) tiếp tục làm phần việc còn lại. Kể từ khi làm một mình, do cải tiến cách làm nên năng suất của đội \(B\) tăng gấp đôi, do đó đội \(B\) đã hoàn thành phần việc còn lại trong 8 ngày tiếp theo nên ta có phương trình

\(8\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + 8 \cdot \dfrac{2}{y} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{1}{8}\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{12}}}\\{\dfrac{1}{x} + \dfrac{3}{y} = \dfrac{1}{8}}\end{array}} \right.\).
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \dfrac{1}{x}}\\{b = \dfrac{1}{y}}\end{array}(a,b > 0)} \right.\), hệ phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = \dfrac{1}{{12}}}\\{a + 3b = \dfrac{1}{8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2b = \dfrac{1}{{24}}}\\{a = \dfrac{1}{{12}} - b}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = \dfrac{1}{{48}}}\\{a = \dfrac{1}{{16}}}\end{array}{\rm{\;}}\left( {tm} \right)} \right.} \right.} \right.\).
Với \(a = \dfrac{1}{{16}} \Rightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{16}} \Leftrightarrow x = 16\left( {tm} \right)\)
Với \(b = \dfrac{1}{{48}} \Rightarrow \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{{48}} \Leftrightarrow y = 48\left( {tm} \right)\).
Vậy thời gian một mình hoàn thành công việc của đội A và B lần lượt là \(16\) ngày và \(48\) ngày.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:697472

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.