Cho các số phức \({z_1};{z_2}\left( {{z_2} \ne 1} \right)\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1;\dfrac{{{z_2}

Câu hỏi số 698716:

Vận dụng

Cho các số phức \({z_1};{z_2}\left( {{z_2} \ne 1} \right)\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1;\dfrac{{{z_2} + 1}}{{{z_2} - 1}}\) là số thuần ảo và \({z_1}{\;^2}{z_2} - {z_1}{z_2}{\;^2} = \sqrt 2 \). Gọi \(A,B,C\) lần lượt là điểm biểu diễn hình học của \({z_1};{z_2};3{z_1} + 2{z_2}\) trên mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích của tam giác \(ABC\).

A. 2.

B. 6.

C. \(\dfrac{3}{2}\).

D. \(\dfrac{1}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:698716

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Do \(\left| {{z_1}} \right| = 1\) nên tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và \({R_1} = 1\).

Đặt \({z_2} = x + yi \in \mathbb{C}\) với \(x,y \in \mathbb{R}\).

Ta có

\(\dfrac{{{z_2} + 1}}{{{z_2} - 1}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right) + yi}}{{\left( {x - 1} \right) + yi}} = \dfrac{{\left[ {\left( {x + 1} \right) + yi} \right]\left[ {\left( {x - 1} \right) - yi} \right]}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + {y^2} + \left[ {\left( {x - 1} \right)y - \left( {x + 1} \right)y} \right]i}}{{{{(x - 1)}^2} + {y^2}}}\).

Do \(\dfrac{{{z_2} + 1}}{{{z_2} - 1}}\) là số thuần ảo nên \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + {y^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\).

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức \({z_2}\) là đường tròn tâm \(O\left( {0;0} \right)\) và \({R_1} = 1\).

Do \(z_1^2{z_2} - {z_1}z_2^2 = \sqrt 2 \Leftrightarrow {z_1}{z_2}\left( {{z_1} - {z_2}} \right) = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {{z_1}{z_2}\left( {{z_1} - {z_2}} \right)} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right| \cdot \left| {{z_2}} \right| \cdot \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 2 \).

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OA = OB = 1}\\{AB = \sqrt 2 }\end{array} \Rightarrow \Delta OAB} \right.\) vuông cân tại \(O\).

Khi đó chọn \(A\left( {0;1} \right),B\left( {1;0} \right)\). Suy ra \(3{z_1} + 2{z_2} = 2 + 3i\) nên tọa độ \(C\left( {2;3} \right)\).

Vói \(AB = \sqrt 2 ;AC = 2\sqrt 2 ;BC = \sqrt {10} \).

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{\Delta ABC}} = 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.