Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 6)^2} + {(z - 2)^2} = 5$

Câu hỏi số 699293:

Vận dụng cao

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{(x - 3)^2} + {(y - 6)^2} + {(z - 2)^2} = 5$ và đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + at}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 0}\end{array}} \right.$. Biết mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ cắt $\left( S \right)$ theo giao tuyến là đường tròn $\left( C \right)$. Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi giá trị của $a$, có ít nhất một điểm $M$ trên $d$ để từ $M$ kẻ được hai tiếp tuyến $MA,MB$ với $\left( C \right)(A,B$ thuộc $\left( C \right))$ sao cho $\widehat {AMB} = {60^ \circ }$ ?

A. 5 .

B. 3 .

C. 4 .

D. 2 .

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:699293

Phương pháp giải

Tìm quỹ tích M nằm trên đường tròn tâm H, bán kính r'. Đưa bài toán về phương trình $d_{(H, d)} \leq r'$

Giải chi tiết

$(S)$ có tâm $I(3,6,2) ; R=\sqrt{5}$

Gọi $H$ là tâm đường tròn $(C) \Rightarrow H(3,6,0)$; bán kính đường tròn $(C): r=\sqrt{R^2-H I^2}=1$

Xét trong mặt phẳng $(O x y)$ đường tròn $(C)$ có phương trình $(x-3)^2+(y-6)^2=1$; đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+a t \\ y=2+3 t\end{array} \Leftrightarrow d: 3 x-a y-3+2 a=0\right.$

Ta có $\widehat{A M B}=60^{\circ} \Rightarrow A M=\sqrt{3} ; H M=2$.

Suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left(C^{\prime}\right)$ tâm $H(3,6)$, bán kính $r^{\prime}=2$

Để có ít nhất một điểm $M \in d$ để từ $M$ kẻ được hai tiếp tuyến $M A, M B$ với $(C)(A, B$ thuộc $(C))$ sao cho $\widehat{A M B}=60^{\circ}$ thì d và $\left(C^{\prime}\right)$ tiếp xúc hoặc cắt nhau tại hai điểm.

$\begin{array}{l}{d_{(H,d)}} \le r' \Leftrightarrow \dfrac{{|3.3 - 6a - 3 + 2a|}}{{\sqrt {{3^2} + {a^2}} }} \le 2\\ \Leftrightarrow |6 - 4a| \le 2\sqrt {9 + {a^2}} \\ \Leftrightarrow 36 - 48a + 16{a^2} \le 36 + 4{a^2}\\ \Leftrightarrow 12{a^2} - 48a \le 0\\ \Leftrightarrow 0 \le a \le 4\end{array}$

Vì $a$ là số nguyên nên $a \in\{0,1,2,3,4\}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.