Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;5; - 2} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\) và
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;5; - 2} \right),B\left( { - 1;3;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 9 = 0\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua hai điểm \(A,B\) và tiếp xúc vơi \(\left( P \right)\) tại điểm \(C\). Gọi \(M,m\) lần lươt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của đoạn \(OC\). Giá trị của \({M^2} + {m^2}\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Đưa bài toán về hình học kết hợp với toạ độ để tìm GTLN, GTNN
Ta có $\overrightarrow{A B}=(-4 ;-2 ; 4)$ và $A, B$ nằm cùng phía so với mặt phẳng (P)
Gọi $M$ là trung điểm của $A B \Rightarrow M(1 ; 4 ; 0)$
Gọi $(Q)$ là mặt phẳng trung trực của $A B$
$\Rightarrow(Q): 2 x+y-2 z-6=0$
$\Rightarrow(Q) \|(P)$, tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ thuộc $(Q)$.
Vì $(S)$ tiếp xúc với $(P)$ nên bán kính
$R=d_{(I,(P))}=d_{(Q Q)(P))}=5 \Rightarrow I A=5$
Ta có $M A=3 \Rightarrow M I=4$
Suy ra $I$ thuộc đường tròn tâm $M$, bán kính bằng 4
Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mặt phăng $(P)$
Suy ra $C$ thuộc đường tròn tâm $H$ bán kính bằng 4
Ta có $H\left(-\dfrac{7}{3} ; \dfrac{7}{3} ; \dfrac{10}{3}\right)$;
Gọi $K$ là hình chiếu của $O$ lên mặt phẳng $(P) \Rightarrow K(-2 ;-1 ; 2)$
Ta có $O K=3 ; H K=\sqrt{13} ; H C=4$
Do $H K<H C$ nên
$M=O C_{\max }=O C_1=\sqrt{H C_1^2+O K^2}=\sqrt{(4+\sqrt{13})^2+9}=\sqrt{38+8 \sqrt{13}}$
$m=O C_{\min }=O C_2=\sqrt{H C_2^2+O K^2}=\sqrt{(4-\sqrt{13})^2+9}=\sqrt{38-8 \sqrt{13}}$
Vậy $M^2+m^2=76$
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
