Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B'C'}
Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều, góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) và \(\left( {BB'C'C} \right)\) bằng \(45^\circ \), hình chiếu vuông góc của \(C'\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trọng tâm tam giác \(ABC\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(BC\) bằng \(6a\). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\) là trung điểm \(BC\)
Khi đó \(C'G \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow C'G \bot BC\)
Mà \(GM \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {C'GM} \right) \Rightarrow \left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {\left( {ABC} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {GM,MC'} \right) = \angle GMC'\)
Theo giả thiết \(\angle GMC' = 45^\circ \Rightarrow C'G = GM\)
Đặt \(GM = x > 0 \Rightarrow C'G = x\)
Ta có: \(AA'\parallel \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {AA',BC} \right) = d\left( {AA',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 3d\left( {G,\left( {BCC'B'} \right)} \right)\)
Theo giả thiết ta có: \(3d\left( {G,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 6a \Rightarrow d\left( {G,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 2a\)
Vì \(\left( {C'GM} \right) \bot BC \Rightarrow \left( {C'GM} \right) \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
Kẻ \(GH \bot C'M\,\,\left( {H \in C'M} \right)\)
Khi đó \(GH \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {G,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = GH = 2a\)
Mặt khác \(GH = \dfrac{{GM.C'G}}{{\sqrt {G{M^2} + C'{G^2}} }} = \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {2{x^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt 2 }}\)
\( \Rightarrow \dfrac{x}{{\sqrt 2 }} = 2a \Rightarrow x = 2a\sqrt 2 \)
Lại có: \(GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AB = 2\sqrt 2 GM = 2\sqrt 2 .2a\sqrt 2 = 8a\)
Thể tích khối lăng trụ là \(V = C'G.{S_{ABC}} = 2a\sqrt 2 .\dfrac{{{{\left( {8a} \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 32{a^3}\sqrt 6 \)
Chọn C
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
