Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) tồn tại đúng 8 số thực \(x\) thỏa
Có bao nhiêu số nguyên dương \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\) tồn tại đúng 8 số thực \(x\) thỏa mãn \(\left( {{x^4} - 4{x^2} - 3 + {{\log }_4}2a} \right)\left( {2a{{.2}^{2{x^4} - 8{x^2} - 3}} + 1} \right) = - 3\)?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có: \(\left( {{x^4} - 4{x^2} - 3 + {{\log }_4}2a} \right)\left( {2a{{.2}^{2{x^4} - 8{x^2} - 3}} + 1} \right) = - 3\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 4{x^2} - 3 + {{\log }_4}2a} \right)\left( {{4^{{{\log }_4}2a}}{{.4}^{{x^4} - 4{x^2} - 3}}.8 + 1} \right) = - 3\\ \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 4{x^2} - 3 + {{\log }_4}2a} \right)\left( {{4^{{x^4} - 4{x^2} + {{\log }_4}2a - 3}}.8 + 1} \right) = - 3\end{array}\)
Đặt \(t = {x^4} - 4{x^2} - 3 + {\log _4}2a\)
Khi đó \(t.\left( {{{8.4}^t} + 1} \right) = - 3\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = - \dfrac{3}{2}\\t = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^4} - 4{x^2} - 3 = - 1 - {\log _4}2a = {m_1}\\{x^4} - 4{x^2} - 3 = - \dfrac{3}{2} - {\log _4}2a = {m_2}\\{x^4} - 4{x^2} - 3 = - 2 - {\log _4}2a = {m_3}\end{array} \right.\)
Vì \(a \in \mathbb{N}* \Rightarrow a \ge 1 \Rightarrow {\log _4}2a \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow - {\log _4}2a \le - \dfrac{1}{2}\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{m_1} \le - \dfrac{3}{2}\\{m_2} \le - 2\\{m_3} \le - \dfrac{5}{2}\\{m_3} < {m_2} < {m_1}\end{array} \right.\)
Xét \(f\left( x \right) = {x^4} - 4{x^2} - 3\)
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array}\)
Ta có bảng biến thiên:
TH1:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 7 < {m_3} < - 3\\ - 3 < {m_2} \le - 2\\{m_1} \le - \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < {\log _4}2a < 5\\\dfrac{1}{2} \le {\log _4}2a < \dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{4} \le {\log _4}2a\end{array} \right. \Rightarrow 1 < {\log _4}2a < \dfrac{3}{2} \Rightarrow 4 < 2a < 8 \Rightarrow 2 < a < 4\)
Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a = 3\)
TH2:
\(\left\{ \begin{array}{l}{m_3} < - 7\\ - 7 < {m_2} \le - 2\\{m_1} < - 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _4}2a > 5\\\dfrac{1}{2} \le {\log _4}2a < \dfrac{{11}}{2}\\{\log _4}2a > 2\end{array} \right. \Rightarrow 5 < {\log _4}2a < \dfrac{{11}}{2} \Rightarrow 512 < a < 1024\)
Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ {513;514; \ldots ;1023} \right\}\)
TH3:
\(\left\{ \begin{array}{l} - 3 < {m_1} \le - \dfrac{3}{2}\\ - 7 < {m_2} < - 3\\{m_3} = - 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{2} \le {\log _4}2a < 2\\\dfrac{3}{2} < {\log _4}2a < \dfrac{{11}}{2}\\{\log _4}2a = 5\end{array} \right.\,\,\left( L \right)\)
Vậy có 512 giá trị thỏa mãn
Chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
