Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, \(SA = 4\) và đường thẳng \(SA\) vuông

Câu hỏi số 701350:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, \(SA = 4\) và đường thẳng \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm thay đổi trên hai cạnh \(AB,\,\,AD\) sao cho mặt phẳng \(\left( {SMC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SNC} \right)\). Khi thể tích khối chóp \(S.AMCN\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(T = A{M^2} + A{N^2}\) bằng

A. 5.

B. 8.

C. 20.

D. 32.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:701350

Giải chi tiết

Chọn \(A \equiv O\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {4;0;0} \right),\,\,C\left( {4;4;0} \right),\,\,D\left( {0;4;0} \right),\,\,S\left( {0;0;4} \right),\,\,M\left( {x;0;0} \right),\,\,N\left( {0;y;0} \right)\) (với \(x \le 4,\,\,y \le 4\))

\( \Rightarrow \overrightarrow {SC} = \left( {4;4; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {SM} = \left( {x;0; - 4} \right),\,\,\overrightarrow {SN} = \left( {0;y; - 4} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_{SCM}}} = \left[ {\overrightarrow {SM} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {16;4x - 16;4x} \right) = 4\left( {4;x - 4;x} \right)\\\overrightarrow {{n_{SNC}}} = \left[ {\overrightarrow {SN} ,\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {16 - 4y; - 16; - 4y} \right) = 4\left( {4 - y; - 4; - y} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(\left( {SMC} \right) \bot \left( {SNC} \right) \Rightarrow 4\left( {4 - y} \right) - 4\left( {x - 4} \right) - xy = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{32 - 4x}}{{x + 4}}\)

Ta có: \(y \le 4 \Rightarrow \dfrac{{32 - 4x}}{{x + 4}} \le 4 \Rightarrow x \ge 2\)

Ta có: \({V_{S.AMCN}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \({S_{AMCN}}\) lớn nhất

Ta có: \({S_{AMNC}} = {S_{ABCD}} - {S_{BMC}} - {S_{DNC}} = 16 - \dfrac{1}{2}.4\left( {4 - x} \right) - \dfrac{1}{2}.4.\left( {4 - \dfrac{{32 - 4x}}{{x + 4}}} \right) = 2x + 2.\dfrac{{32 - 4x}}{{x + 4}}\)

Xét \(f\left( x \right) = 2x + 2.\dfrac{{32 - 4x}}{{x + 4}}\,\,\left( {2 \le x \le 4} \right)\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 2\left( {1 - \dfrac{{48}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right) < 0,\,\,\forall x \in \left[ {2;4} \right]\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 12\)

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(x = 2 \Rightarrow y = 4\)

Vậy \(T = A{M^2} + A{N^2} = {2^2} + {4^2} = 20\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.