Có bao nhiêu số nguyên \({\rm{y}}\) để với mỗi \({\rm{y}}\) có đúng 2 số thực \({\rm{x}}\) thỏa
Có bao nhiêu số nguyên \({\rm{y}}\) để với mỗi \({\rm{y}}\) có đúng 2 số thực \({\rm{x}}\) thỏa mãn bất phương trình \(\dfrac{{2{e^x}}}{{\sqrt {8{e^x} - y} }} + {\rm{ln}}\left( {8{e^x} - y} \right) \le 2x + 2\left( {\rm{*}} \right)\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
+) Đặt \(t = \sqrt {8{e^x} - y} (t > 0) \Rightarrow {t^2} = 8{e^x} - y \Rightarrow 2{{\rm{e}}^x} = \dfrac{{{t^2} + y}}{4}\) và \(x = {\rm{ln}}\dfrac{{{t^2} + y}}{8}\).
\( + )\) Khi đó (*) có dạng
\(\begin{array}{l}\dfrac{{{t^2} + y}}{{4{\rm{t}}}} + 2{\rm{ln}}t \le 2{\rm{ln}}\dfrac{{{t^2} + y}}{8} + 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} + y}}{{8t}} + {\rm{ln}}t \le {\rm{ln}}\dfrac{{{t^2} + y}}{8} + 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} + y}}{{8t}} \le {\rm{ln}}\dfrac{{{t^2} + y}}{{8t}} + 1\end{array}\)
Đặt \(u = \dfrac{{{t^2} + y}}{{8t}}\), ta có \({\rm{ln}}u \ge u - 1\left( 1 \right)\).
Xét hàm số \(f\left( u \right) = {\rm{ln}}u - u + 1;f'\left( u \right) = \dfrac{1}{u} - 1;f'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow u = 1\).
Ta có bảng biến thiên
+) Từ bảng biến thiên suy ra \(f\left( u \right) \le 0 \Leftrightarrow {\rm{ln}}u \le u - 1\) (2) .
Từ (1) và (2) suy ra \(u = 1\) hay \({t^2} + y = 8t \Leftrightarrow 8{e^x} = 8\sqrt {8{e^x} - y} \Leftrightarrow {e^{2x}} = 8{e^x} - y \Leftrightarrow y = 8{e^x} - {e^{2x}}\).
Xét hàm số \(y = 8{e^x} - {e^{2x}};y' = 8{e^x} - 2{e^{2x}};y' = 0 \Leftrightarrow x = {\rm{ln}}4\), ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \(0 < y < 16\).
Vậy có 15 số nguyên y thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
