Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; +

Câu hỏi số 702057:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right),f\left( 1 \right) = \sqrt e \) và thỏa mãn \({f^3}\left( x \right){e^{ - x}} + \left( {{x^3} + {x^2}} \right)f\left( x \right) - 2{x^3}f'\left( x \right) = 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Tính \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx\).

A. \(e + \sqrt e \).

B. \(2\sqrt e \).

C. \(2e\).

D. \(e - \sqrt e \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:702057

Giải chi tiết

Ta có \({f^3}\left( x \right){e^{ - x}} + \left( {{x^3} + {x^2}} \right)f\left( x \right) - 2{x^3}f'\left( x \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 1} \right)f\left( x \right) - 2{x^3}f'\left( x \right) = - \dfrac{{{f^3}\left( x \right)}}{{{e^x}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 1} \right){e^x}{f^2}\left( x \right) - 2x{e^x} . f\left( x \right) . f'\left( x \right)}}{{{f^4}\left( x \right)}} = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {\left[ {\dfrac{{x . {e^x}}}{{{f^2}\left( x \right)}}} \right]^{\rm{'}}} = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{x . {e^x}}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \dfrac{1}{x} + C\end{array}\).

Cho \(x = 1\) được \(\dfrac{{1.{e^1}}}{{{f^2}\left( 1 \right)}} = \dfrac{1}{1} + C \Leftrightarrow C = 0\).

\( \Rightarrow \dfrac{{x . {e^x}}}{{{f^2}\left( x \right)}} = \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) = {x^2} . {e^x} \Rightarrow f\left( x \right) = x.{e^{\dfrac{x}{2}}}\).

Xét .

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = x}\\{{\rm{\;d}}v = {e^{\dfrac{x}{2}}}{\rm{\;d}}x}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{d}}u = {\rm{d}}x}\\{v = 2{e^{\dfrac{x}{2}}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.