Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2024^x} - \dfrac{1}{{{{2024}^x}}} - {\rm{ln}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} }
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2024^x} - \dfrac{1}{{{{2024}^x}}} - {\rm{ln}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + x\). Biết rằng \(m = a + b\sqrt 2 \) (với \(a \in \mathbb{Z},b \in \mathbb{Z}\) ) là số thực sao cho phương trình \(f\left( {\left| {{x^3} - 3x} \right|} \right) + f\left( m \right) = 0\) có 6 nghiệm thực phân biệt thoả mãn tổng các nghiệm âm bằng \(2 - 4\sqrt 2 \). Tính \(a - b\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có \(\sqrt {{x^2} + 1} > \left| x \right| \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + x > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có
\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = {2024^{ - x}} - \dfrac{1}{{{{2024}^{ - x}}}} - {\rm{ln}}\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) - x\\ = \dfrac{1}{{{{2024}^x}}} - {2024^x} - {\rm{ln}}\left( {\dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} + x}}} \right) - x\\ = - f\left( x \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \)Hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.
Mặt khác \(f'\left( x \right) = {2024^x} . {\rm{ln}}2024 + {2024^{ - x}}{\rm{ln}}2024 - \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Phương trình \(f\left( {\left| {{x^3} - 3x} \right|} \right) + f\left( m \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f\left( {\left| {{x^3} - 3x} \right|} \right) = - f\left( m \right)\\ \Leftrightarrow f\left( {\left| {{x^3} - 3x} \right|} \right) = f\left( { - m} \right)\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left| {{x^3} - 3x} \right| = - m \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 3x = - m}&{\left( 1 \right)}\\{{x^3} - 3x = m}&{\left( 2 \right)}\end{array}{\rm{\;}}\left( {m \le 0} \right)} \right.\).
Hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x\) có bảng biến thiên
Ta thấy hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3x\) là hàm số lẻ nên nếu phương trình (1) có 3 nghiệm \({x_1} < {x_2} < {x_3}\) thì phương trình (2) có các nghiệm là \( - {x_3} < - {x_2} < - {x_1}\).
Các nghiệm âm của phương trình đã cho là \( - {x_3};{x_1};{x_2}\)
Theo bài ra ta có \({x_1} + {x_2} - {x_3} = 2 - 4\sqrt 2 \).
Theo định lý Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} + {x_3} = 0 \Rightarrow 2{x_3} = 4\sqrt 2 - 2 \Rightarrow {x_3} = 2\sqrt 2 - 1\).
Vì \({x_3}\) là nghiệm của phương trình (1) nên: \({(2\sqrt 2 - 1)^3} - 3\left( {2\sqrt 2 - 1} \right) = - m \Rightarrow m = 22 - 16\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 22}\\{b = - 16}\end{array}} \right.\).
Vậy \(a - b = 38\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
