Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2,\forall

Câu hỏi số 702935:

Vận dụng cao

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2,\forall x \in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$, hàm số $g\left( x \right) = f\left( { - {x^4} + 2{x^2} - 3m} \right)$ có đúng ba điểm cực trị thuộc khoảng $\left( {0;3} \right)$ ?

A. 20 .

B. 31 .

C. 15 .

D. 21 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:702935

Phương pháp giải

Tính $g'(x)$ và giải phương trình $g'(x)=0$

Giải $g'(x)=0$ bằng cách cô lập m và lập bảng biến thiên từ đó tìm số nghiệm đơn hoặc bội lẻ của phương trình sẽ ứng với số cực trị của hàm $g(x)$.

Giải chi tiết

Ta có bảng biến thiên của hàm số $y=f(x)$

Xét hàm số $g(x)=f\left(-x^4+2 x^2-3 m\right)$

$\Rightarrow g^{\prime}(x)=\left(-4 x^3+4 x\right) \cdot f^{\prime}\left(-x^4+2 x^2-3 m\right)$

$g^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-4 x^3+6 x=0 \\ f^{\prime}\left(-x^4+2 x^2-3 m\right)=0\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{lr}{\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=-1 \\ x=0\end{array}\right.} & \begin{array}{r}\text { (loai) } \\ \text { (loai) }\end{array} \\ f^{\prime}\left(-x^4+2 x^2-3 m\right)=0 & \end{array}\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ -x^4+2 x^2-3 m=1 \\ -x^4+2 x^2-3 m=2\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ -x^4+2 x^2-1=3 m \\ -x^4+2 x^2-1=3 m+1\end{array}\right.\right.$.

Để hàm số $g(x)$ có đúng ba điểm cực trị thuộc khoảng $(0 ; 3)$

$\Rightarrow f'\left(-x^4+2 x^2-3 m\right)=0$ hoặc có 2 nghiệm đơn phân biệt thuộc (0; 3)\{1} hoặc có 1 nghiệm kép bằng 1 và hai nghiệm đơn phân biệt thuộc (0; 3)\{1}

Xét $h(x)=-x^4+2 x^2-1, \forall x \in(0 ; 3)$ có bảng biến thiên:

Để có thỏa mãn yêu cầu để bài

$\Rightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}3 m+1 \geq 0 \\ -1<3 m<0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}3 m+1 \leq-1 \\ 3 m>-64\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\dfrac{-1}{3} \leq m<0 \\ \dfrac{-64}{3}<m \leq \dfrac{-2}{3}\end{array} \Rightarrow m \in\{-21 ;-20 ; \ldots ;-1\}\right.\right.$.

Có 21 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.