Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O ; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C
Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O ; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm), AO cắt BC tại K.
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp và AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Gọi P là điểm bất kì thuộc (O) sao cho tia BO nằm giữa hai tia BP và BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống PC, M là trung điểm BH và PM cắt (O) tại Q (khác P ). Chứng minh \(\angle QMK = \angle QCA\).
c) Chứng minh \(\angle AQC = {90^\circ }\) và \(AC = 2R\tan \angle CPQ\).
Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do AB, AC là tiếp tuyến nên \(\angle OBA = \angle OCA = {90^0}\)
Xét tứ giác OBAC có \(\angle OBA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OBAC nội tiếp (dhnb)
Ta có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của BC (đpcm)
\( \Rightarrow OA \bot BC\) tại K là trung điểm của BC
b) Do M là trung điểm của BH (gt), K là trung điểm của BC (cmt)
Nên MK là đường trung bình của \(\Delta BHC\)
\( \Rightarrow MK\parallel PC \Rightarrow \angle QMK = \angle QPC\) (đồng vị)
Mà \(\angle QPC = \angle QCA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung QC)
\( \Rightarrow \angle QMK = \angle QCA\) (đpcm)
c) Do \(\angle QMK = \angle QCA\) (cmt) và \(\angle QCA = \angle QBK\left( { = \dfrac{1}{2}sdCQ} \right)\)
\( \Rightarrow \angle QMK = \angle QBK \Rightarrow QBKM\) nội tiếp
Ta có
\(\angle QKB = \angle QMB = \angle HMP = 90^\circ - \angle MPH\)
\(\angle QKB = 90^\circ - \angle AKQ\)
\(\; \Rightarrow \angle AKQ = \angle MPH = \angle QPC = \angle QCA\)
\(\; \Rightarrow AQKM\) nội tiếp
\(\; \Rightarrow \angle AQC = \angle AKC = 90^\circ \)
Kẻ đường kính CE
Suy ra \(CQ \bot QE\)
Mà \({\rm{QC}} \bot {\rm{AQ}}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)
Nên \({\rm{Q}},{\rm{A}},{\rm{E}}\) thẳng hàng
Ta có \({\rm{tan}}\angle CPQ = {\rm{tan}}\angle CEQ = \dfrac{{AC}}{{EC}} = \dfrac{{AC}}{{2R}} \Rightarrow AC = 2R \cdot {\rm{tan}}\angle CPQ\)
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
