Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O ; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C
Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O ; R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm), AO cắt BC tại K.
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp và AO là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Gọi P là điểm bất kì thuộc (O) sao cho tia BO nằm giữa hai tia BP và BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống PC, M là trung điểm BH và PM cắt (O) tại Q (khác P ). Chứng minh \(\angle QMK = \angle QCA\).
c) Chứng minh \(\angle AQC = {90^\circ }\) và \(AC = 2R\tan \angle CPQ\).
Quảng cáo
Sử dụng các tính chất hình học để chứng minh.
a) Do AB, AC là tiếp tuyến nên \(\angle OBA = \angle OCA = {90^0}\)
Xét tứ giác OBAC có \(\angle OBA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)
Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OBAC nội tiếp (dhnb)
Ta có \(AB = AC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), \(OB = OC = R\)
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của BC (đpcm)
\( \Rightarrow OA \bot BC\) tại K là trung điểm của BC
b) Do M là trung điểm của BH (gt), K là trung điểm của BC (cmt)
Nên MK là đường trung bình của \(\Delta BHC\)
\( \Rightarrow MK\parallel PC \Rightarrow \angle QMK = \angle QPC\) (đồng vị)
Mà \(\angle QPC = \angle QCA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung QC)
\( \Rightarrow \angle QMK = \angle QCA\) (đpcm)
c) Do \(\angle QMK = \angle QCA\) (cmt) và \(\angle QCA = \angle QBK\left( { = \dfrac{1}{2}sdCQ} \right)\)
\( \Rightarrow \angle QMK = \angle QBK \Rightarrow QBKM\) nội tiếp
Ta có
\(\angle QKB = \angle QMB = \angle HMP = 90^\circ - \angle MPH\)
\(\angle QKB = 90^\circ - \angle AKQ\)
\(\; \Rightarrow \angle AKQ = \angle MPH = \angle QPC = \angle QCA\)
\(\; \Rightarrow AQKM\) nội tiếp
\(\; \Rightarrow \angle AQC = \angle AKC = 90^\circ \)
Kẻ đường kính CE
Suy ra \(CQ \bot QE\)
Mà \({\rm{QC}} \bot {\rm{AQ}}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)
Nên \({\rm{Q}},{\rm{A}},{\rm{E}}\) thẳng hàng
Ta có \({\rm{tan}}\angle CPQ = {\rm{tan}}\angle CEQ = \dfrac{{AC}}{{EC}} = \dfrac{{AC}}{{2R}} \Rightarrow AC = 2R \cdot {\rm{tan}}\angle CPQ\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
