Cho hình lăng trụ đều \(ABC . A'B'C'\). Biết khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left(
Cho hình lăng trụ đều \(ABC . A'B'C'\). Biết khoảng cách từ điểm \(C\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) bằng \(a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC'} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \(\alpha \) thỏa mãn \({\rm{cos}}\alpha = \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có \(d\left( {C,\left( {ABC'} \right)} \right) = AH = 1\).
Mặt khác \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \widehat {CKH} = \alpha \)
Đặt \(AB = x(x > 0),AA' = y(y > 0)\).
Xét tam giác CC'M ta có: \(\dfrac{1}{{C{H^2}}} = \dfrac{1}{{C{C^{{\rm{'}}2}}}} + \dfrac{1}{{C{M^2}}} \Leftrightarrow 1 = \dfrac{4}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}}\left( 1 \right)\).
Mặt khác \({\rm{cos}}\alpha = \dfrac{1}{{2\sqrt 5 }} \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = \dfrac{{\sqrt {95} }}{{10}} = \dfrac{{CH}}{{CK}} \Rightarrow CK = \dfrac{{10}}{{\sqrt {95} }}\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{C{K^2}}} = \dfrac{1}{{C{B^2}}} + \dfrac{1}{{C{C^{12}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{19}}{{20}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}}\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{4}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 1}\\{\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{{19}}{{20}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{3}{{20}}}\\{\dfrac{1}{{{y^2}}} = \dfrac{4}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}}\\{y = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Khi đó thể tích khối lăng trụ \(ABC . A'B'C'\).
\({V_{ABC.A'B'C'}} = {\left( {\dfrac{{2\sqrt {15} a}}{2}} \right)^2} . \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} . \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{5\sqrt {15} {a^3}}}{6}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
