Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 3\). Có tất

Câu hỏi số 706688:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 1)^2} = 3\). Có tất cả bao nhiêu điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) (với \(a,b,c\) là các số nguyên) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) sao cho tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) đi qua \(M\) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau?

A. 8 .

B. 12 .

C. 6 .

D. 16 .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:706688

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\;Tâm\;}}I\left( { - 1;1;1} \right)}\\{{\rm{\;Bán kính\;}}R = \sqrt 3 }\end{array}} \right.\). Vì \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)\) nên \(M\left( {0;b;c} \right)\).

Gọi \(I'\) là trung điểm của \(IM \Rightarrow I'\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{b + 1}}{2};\dfrac{{c + 1}}{2}} \right)\).

Gọi \(E,F\) lần lượt là hai tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua \(M\) sao cho \(ME \bot MF\).

Ta có \(E,F\) cùng thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \(I'\left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{b + 1}}{2};\dfrac{{c + 1}}{2}} \right)\), bán kính \(R' = \dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} \).

Để tồn tại \(E,F\) thì hai mặt cầu \(\left( S \right)\) và \(\left( {S'} \right)\) phải cắt nhau \( \Rightarrow \left| {R - R'} \right| \le II' \le \left| {R + R'} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {\sqrt 3 - \dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} } \right| \le \dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} \le \sqrt 3 + \dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} \ge \left| {\sqrt 3 - \dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} } \right|}\\{\dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} \le \sqrt 3 + \dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} \left( {ld} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} \ge \sqrt 3 - \dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} }\\{\dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} \le - \sqrt 3 + \dfrac{1}{2}\sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} {\rm{\;(sai)\;}}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 + {{(b + 1)}^2} + {{(c + 1)}^2}} \ge \sqrt 3 \Leftrightarrow {(b + 1)^2} + {(c + 1)^2} \ge 2\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( {MEF} \right)\).

Vì \(ME\) và \(MF\) là tiếp tuyến của \(\left( S \right)\) và \(ME \bot MF\) nên tứ giác \(MEHF\) là hình vuông có cạnh \(HF = ME = \sqrt {M{I^2} - 3} \).

Ta có \(I{H^2} = {R^2} - H{F^2} = 3 - \left( {M{I^2} - 3} \right) = 6 - M{I^2} \ge 0 \Leftrightarrow I{H^2} = 6 - M{I^2} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow 1 + {(b + 1)^2} + {(c + 1)^2} \le 6 \Leftrightarrow {(b + 1)^2} + {(c + 1)^2} \le 5\).

Từ (1) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(2 \le {(b + 1)^2} + {(c + 1)^2} \le 5\).

Vì \(b,c \in \mathbb{Z}\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(b + 1)}^2} = 0}\\{{{(c + 1)}^2} = 4}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(b + 1)}^2} = 4}\\{{{(c + 1)}^2} = 0}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(b + 1)}^2} = 1}\\{{{(c + 1)}^2} = 4}\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(b + 1)}^2} = 4}\\{{{(c + 1)}^2} = 1.}\end{array}} \right.\)

hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(b + 1)}^2} = 1}\\{{{(c + 1)}^2} = 1.}\end{array}} \right.\)

Hai hệ phương trình đầu mỗi hệ có 2 nghiệm, 3 hệ phương trình sau mỗi hệ có 4 nghiệm.

Do vậy có 16 điểm \(M\) tương ứng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.