Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \({\rm{log}}\dfrac{{{a^2} + 9{b^2} + 1}}{{2a + 6b}} = a\left( {2 - a}

Câu hỏi số 706690:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \({\rm{log}}\dfrac{{{a^2} + 9{b^2} + 1}}{{2a + 6b}} = a\left( {2 - a} \right) + 3b\left( {2 - 3b} \right) - 1\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{2a + 9b}}{{a + 3b + 1}}\).

A. 6 .

B. 3

C. 2

D. 5

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:706690

Giải chi tiết

Theo giả thiết \({\rm{log}}\dfrac{{{a^2} + 9{b^2} + 1}}{{2a + 6b}} = a\left( {2 - a} \right) + 3b\left( {2 - 3b} \right) - 1\)

\( \Leftrightarrow {\rm{log}}\left( {{a^2} + 9{b^2} + 1} \right) - {\rm{log}}\left( {2a + 6b} \right) = 2a - {a^2} + 6b - 9{b^2} - 1\)

\( \Leftrightarrow {\rm{log}}\left( {{a^2} + 9{b^2} + 1} \right) + \left( {{a^2} + 9{b^2} + 1} \right) = {\rm{log}}\left( {2a + 6b} \right) + \left( {2a + 6b} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{log}}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t . {\rm{ln}}10}} + 1 > 0,\forall t > 0\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right) = {\rm{log}}t + t\) là đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lại có \(f\left( {{a^2} + 9{b^2} + 1} \right) = f\left( {2a + 6b} \right)\)

Do đó, \({a^2} + 9{b^2} + 1 = 2a + 6b \Leftrightarrow {(a - 1)^2} + {(3b - 1)^2} = 1\).

Đặt \(x = a,y = 3b(x,y > 0)\).

Ta có \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = 1\).

Đây là phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;1} \right)\), bán kính \(R = 1\).

Mặt khác, \(P = \dfrac{{2x + 3y}}{{x + y + 1}} \Leftrightarrow 2x + 3y = Px + Py + P\)

\( \Leftrightarrow \left( {2 - P} \right)x + \left( {3 - P} \right)y - P = 0\)

Đường thẳng \(\left( {\rm{\Delta }} \right)\) cắt đường tròn \(\left( C \right) \Leftrightarrow d\left( {I,{\rm{\Delta }}} \right) \le 1\)

\(\begin{array}{l}\; \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2 - P + 3 - P - P} \right|}}{{\sqrt {{{(2 - P)}^2} + {{(3 - P)}^2}} }} \le 1 \Leftrightarrow \left| {5 - 3P} \right| \le \sqrt {2{P^2} - 10P + 13} \\\; \Leftrightarrow 7{P^2} - 20P + 12 \le 0\\\; \Rightarrow \dfrac{6}{7} \le P \le 2.\end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của \({P_{{\rm{max}}}} = 2\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.