Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \({z_1} + 2{z_2} = 4 + 3i\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\).

Câu hỏi số 706691:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \({z_1} + 2{z_2} = 4 + 3i\) và \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\). Giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|\) bằng

A. \(\sqrt {\dfrac{{33}}{2}} \).

B. \(\dfrac{{13}}{2}\).

C. 5

D. \(\dfrac{{4\sqrt 5 }}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:706691

Giải chi tiết

Ta có \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = \left| {4 + 3i} \right| = \sqrt {25} = 5\).

Mặt khác

\({\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|^2} + 2{\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = \left( {{z_1} + 2{z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1} + 2{z_2}} } \right) + 2\left( {{z_1} - {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1} - {z_2}} } \right)\)

\( = \left( {{z_1} + 2{z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1}} + 2\overline {{z_2}} } \right) + 2\left( {{z_1} - {z_2}} \right)\left( {\overline {{z_1}} - \overline {{z_2}} } \right)\)

\( = {\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{z_1}\overline {{z_2}} + 2{z_2}\overline {{z_1}} + 4{\left| {{z_2}} \right|^2} + 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} - {z_1}\overline {{z_2}} - {z_2}\overline {{z_1}} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\)

\( = 3{\left| {{z_1}} \right|^2} + 6{\left| {{z_2}} \right|^2}\).

Do đó, \(3\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + 2{{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) = 33 \Leftrightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} + 2{\left| {{z_2}} \right|^2} = 11\).

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

\({\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)^2} \le \left( {1 + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + 2{{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) = \dfrac{{33}}{2}\).

Suy ra \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| \le \sqrt {\dfrac{{33}}{2}} \).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right|\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.