Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3} + 2x,\forall x \in \mathbb{R}\).

Câu hỏi số 707694:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3} + 2x,\forall x \in \mathbb{R}\). Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho ứng với mỗi \(m\), hàm số
\(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} + 2{x^3} - m{x^2}} \right) + 2023{m^2} - 2024{m^3}\) có đúng hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\). Tổng tất cả các phần tử của \(S\) bằng

A. 272.

B. 245.

C. 246.

D. 247.

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:707694

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Xét \(g\left( x \right) = f\left( {{x^4} + 2{x^3} - m{x^2}} \right) + 2023{m^2} - 2024{m^3}\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {4{x^3} + 6{x^2} - 2mx} \right) \cdot f'\left( {{x^4} + 2{x^3} - m{x^2}} \right)\). Để hàm số \(g\left( x \right)\) có đúng hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\) thì phương trình \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x^3} + 6{x^2} - 2mx = 0}\\{f'\left( {{x^4} + 2{x^3} - m{x^2}} \right) = 0}\end{array}} \right.\) (1) có đúng hai nghiệm bội lẻ thuộc khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\). Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Phương trình \(\left( 1 \right) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{4{x^2} + 6x - 2m = 0}\\{{x^4} + 2{x^3} - m{x^2} = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{2{x^2} + 3x = m}\\{{x^2} = 0\left( L \right)}\\{{x^2} + 2x - m = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Vì \(x = 0\) thuộc khoảng \(\left( { - 1;3} \right) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{x^2} + 3x = m}\\{{x^2} + 2x = m}\end{array}} \right.\), cần một nghiệm bội lẻ duy nhất khác 0 và thuộc khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\).

Gọi \(k\left( x \right) = 2{x^2} + 3x,h\left( x \right) = {x^2} + 2x\), sử dụng tính năng table trong máy tính ta minh họa giá trị của hai hàm số \(k\left( x \right),h\left( x \right)\) để tương giao tìm nghiệm bội lẻ

Để hàm số có một nghiệm bội lẻ duy nhất khác 0 thuộc khoảng \(\left( { - 1;3} \right)\) thì:

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = - 1}\\{15 \le m \le 26}\end{array}} \right.\). Tổng các giá trị nguyên của \(m\) là 245

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.