Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) để

Câu hỏi số 707835:

Vận dụng

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 20;20} \right]\) để phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {x - 1} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\sqrt {x - 1} \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\) có đúng hai nghiệm thực phân biệt

A. 11.

B. 8.

C. 9.

D. 10.

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:707835

Phương pháp giải

Đưa về phương trình tích.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 > 0}\\{{x^2} - 6x + m > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{m > - {x^2} + 6x = g\left( x \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Phương trình: \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {x - 1} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\sqrt {x - 1} \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {x - 1} \right) = \dfrac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}6 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {x - 1} \right) \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {{x^2} - 6x + m} \right)}\\{}&{}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {x - 1} \right) \cdot \left[ {1 - \dfrac{1}{2}{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}6 \cdot {\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {{x^2} - 6x + m} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}\left( {x - 1} \right) = 0}\\{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {{x^2} - 6x + m} \right) = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - 6x + m = 9}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - 6x - 9 = - m}\end{array}} \right.\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} - 6x - 9\).

\(f'\left( x \right) = 2x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 3\).

Bảng biến thiên \(f\left( x \right)\) :

Xét điều kiện đề bài: \(m > - {x^2} + 6x = g\left( x \right)\).

Bảng biến thiên \(g\left( x \right)\) :

TH1: \(m > 8 \Rightarrow x = 2\) luôn thỏa mãn cả 2 điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 > 0}\\{{x^2} - 6x + m > 0}\end{array} \Rightarrow x = 2} \right.\) là nghiệm của phương trình.

Để phương trình có 2 nghiệm thì đường thẳng \(y = - m\) cắt \(f\left( x \right) = {x^2} - 6x - 9\) tại 1 điểm \(x \ne 2\) hoặc cắt tại 2 điểm, trong đó có 1 điểm \(x = 2\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m \ge - 14}\\{ - m = - 17}\\{ - m = - 18}\end{array}\mathop {m > 8}\limits_{m \in \mathbb{Z}} m \in \left\{ {9;10;11;12;13;14;17;18} \right\}} \right.\).

TH2: \(m \le 8 \Rightarrow x = 2\) vi phạm điều kiện \({x^2} - 6x + m > 0 \Rightarrow x = 2\) không là nghiệm của phương trình.

Để phương trình có 2 nghiệm thì đường thẳng \(y = - m\) cắt \(f\left( x \right) = {x^2} - 6x - 9\) tại 2 điểm thỏa mãn \(1 < x < 2 \Leftrightarrow - 17 < - m < - 14 \Leftrightarrow 14 < m < 17\mathop {m \le 8}\limits_{m \in \mathbb{Z}} m \in \emptyset \)

Vậy có tất cả 8 giá trị \(m\) thỏa mãn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.