Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2z + 1 = 0\) và đường

Câu hỏi số 707836:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2z + 1 = 0\) và đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{z}{{ - 1}}\). Hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) và tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\) tại \(A\) và \(B\). Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm nào sau đây

A. \(E\left( {1;\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\).

B. \(F\left( {1;\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\).

C. \(D\left( { - 1;\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\).

D. \(M\left( {1; - \dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:707836

Phương pháp giải

Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {a;b;c} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) có phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\\{z = {z_0} + ct}\end{array}} \right.\)

Giải chi tiết

Từ phương trình \(\left( S \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I\left( {1;0; - 1} \right)}\\{R = 1}\end{array}} \right.\).

Vì hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) chứa \(d\) nên \(d = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\).

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{IA \bot \left( P \right) \Rightarrow IA \bot d}\\{IB \bot \left( P \right) \Rightarrow IB \bot d}\end{array}} \right\} \Rightarrow d \bot \left( {IAB} \right) \Rightarrow d \bot AB\).

Kẻ \(IH \bot d \Rightarrow HA,HB\) là các tiếp tuyến \( \Rightarrow AB \bot IH\).

Tìm tọa độ điểm \(H\) :

\(H \in d \Rightarrow H\left( {t;2 + t; - t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} \left( {t - 1;2 + t; - t + 1} \right)\).

Vì \(\overrightarrow {IH} \cdot \overrightarrow {{u_d}} = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 1} \right) \cdot 1 + \left( {2 + t} \right) \cdot 1 + \left( { - t + 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow t = 0 \Rightarrow H\left( {0;2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IH} = \left( { - 1;2;1} \right)\).

Vì \(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {{u_d}} }\\{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {IH} }\end{array}} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {IH} } \right] = \left( {3;0;3} \right) = 3\left( {1;0;1} \right)\).

Gọi \(K = AB \cap IH\).

Xét \({\rm{\Delta }}IAH \Rightarrow I{A^2} = IK \cdot IH \Rightarrow IK = \dfrac{{I{A^2}}}{{IH}} = \dfrac{{{1^2}}}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\).

\(KH = IH - IK = \sqrt 6 - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6} = \dfrac{{5\sqrt 6 }}{6}\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {KH} = - 5\overrightarrow {KI} \Rightarrow K = \dfrac{{H + 5I}}{6} = \left( {\dfrac{5}{6};\dfrac{1}{3}; - \dfrac{5}{6}} \right)\).

Vậy \(AB:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \dfrac{5}{6} + t}\\{y = \dfrac{1}{3}}\\{z = - \dfrac{5}{6} + t}\end{array}} \right.\). Ta thấy đi qua điểm \(E\left( {1;\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.