Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;3; - 3} \right),B\left( {6; - 3;3} \right)\), mặt cầu

Câu hỏi số 707837:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;3; - 3} \right),B\left( {6; - 3;3} \right)\), mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\) và đường thẳng \(\left( {\rm{\Delta }} \right):\dfrac{{x - \dfrac{1}{2}}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{1}\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song với \({\rm{\Delta }}\) và luôn tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right)\). Một điểm \(M\) thay đổi và thỏa mãn \(MA = 2MB\). Khoảng cách lớn nhất từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {18,5;19} \right)\).

B. \(\left( {19;19,5} \right)\).

C. \(\left( {17,5;18} \right)\).

D. \(\left( {18;18,5} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:707837

Giải chi tiết

Đặt \(M\left( {x;y;z} \right)\)

Theo giả thiết ta có \(MA = 2MB \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2} \Leftrightarrow {(x - 8)^2} + {(y + 5)^2} + {(z - 5)^2} = 48\)

Chứng tỏ điểm \({\rm{M}}\) thuộc mặt cầu \(\left( {S'} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {8; - 5;5} \right)\) và bán kính \({R_1} = 4\sqrt 3 \).

Gọi l là đường thẳng song song với đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) và đi qua tiếp điểm của mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) với mặt cầu \(\left( S \right)\),

gọi \({\rm{d}}\) là đường thẳng đi qua tâm \({\rm{O}}\) của \(\left( S \right)\) và song song với đường thẳng \({\rm{\Delta }}\).

Khi mặt phẳng \(\left( {\rm{P}} \right)\) thay đổi thì 1 là đường sinh quay quanh \({\rm{d}}\) để tạo ra mặt trụ tròn xoay có trục là \({\rm{d}}\) và bán kính đáy của khối trụ bằng với bán kính của mặt cầu \(\left( S \right)\), tức là \(r = R = l\)

Ta có \({\rm{d}}\left( {M;\left( P \right)} \right) \le {\rm{d}}\left( {{I_1};\left( P \right)} \right) + {R_1} \le {\rm{d}}\left( {{I_1};l} \right) + {R_1} \le \left[ {{\rm{d}}\left( {{I_1};d} \right) + r} \right] + {R_1}\)

Vậy \({\rm{max}}\left( {M;\left( P \right)} \right) = \left[ {{\rm{d}}\left( {{I_1};d} \right) + r} \right] + {R_1} = \dfrac{{\sqrt {905} }}{3} + 1 + 4\sqrt 3 \approx 17,96\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.