Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {0;3; - 3} \right),B\left( {6; - 3;3} \right)$,

Câu hỏi số 707837:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {0;3; - 3} \right),B\left( {6; - 3;3} \right)$, mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 1$ và đường thẳng $\left( {\rm{\Delta }} \right):\dfrac{{x - \dfrac{1}{2}}}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{1}$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với ${\rm{\Delta }}$ và luôn tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$. Một điểm $M$ thay đổi và thỏa mãn $MA = 2MB$. Khoảng cách lớn nhất từ $M$ đến $\left( P \right)$ thuộc khoảng nào sau đây?

A. $\left( {18,5;19} \right)$.

B. $\left( {19;19,5} \right)$.

C. $\left( {17,5;18} \right)$.

D. $\left( {18;18,5} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:707837

Phương pháp giải

Xác định quỹ tích điểm $M$ là mặt cầu $(S')$ tâm $I_1$, bán kính $R_1$.

Khoảng cách lớn nhất cần tìm được tính theo công thức $d_{max} = d(I_1, d) + R_{(S)} + R_1$, với $d$ là đường thẳng qua gốc tọa độ $O$ và song song với đường thẳng $\Delta$.

Giải chi tiết

Đặt $M\left( {x;y;z} \right)$

Theo giả thiết ta có $MA = 2MB \Leftrightarrow M{A^2} = 4M{B^2} \Leftrightarrow {(x - 8)^2} + {(y + 5)^2} + {(z - 5)^2} = 48$

Chứng tỏ điểm ${\rm{M}}$ thuộc mặt cầu $\left( {S'} \right)$ có tâm ${I_1}\left( {8; - 5;5} \right)$ và bán kính ${R_1} = 4\sqrt 3 $.

Gọi l là đường thẳng song song với đường thẳng ${\rm{\Delta }}$ và đi qua tiếp điểm của mặt phẳng $\left( {\rm{P}} \right)$ với mặt cầu $\left( S \right)$,

gọi ${\rm{d}}$ là đường thẳng đi qua tâm ${\rm{O}}$ của $\left( S \right)$ và song song với đường thẳng ${\rm{\Delta }}$.

Khi mặt phẳng $\left( {\rm{P}} \right)$ thay đổi thì 1 là đường sinh quay quanh ${\rm{d}}$ để tạo ra mặt trụ tròn xoay có trục là ${\rm{d}}$ và bán kính đáy của khối trụ bằng với bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$, tức là $r = R = l$

Ta có ${\rm{d}}\left( {M;\left( P \right)} \right) \le {\rm{d}}\left( {{I_1};\left( P \right)} \right) + {R_1} \le {\rm{d}}\left( {{I_1};l} \right) + {R_1} \le \left[ {{\rm{d}}\left( {{I_1};d} \right) + r} \right] + {R_1}$

Vậy ${\rm{max}}\left( {M;\left( P \right)} \right) = \left[ {{\rm{d}}\left( {{I_1};d} \right) + r} \right] + {R_1} = \dfrac{{\sqrt {905} }}{3} + 1 + 4\sqrt 3 \approx 17,96$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.