Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^{\left| {x - 4} \right|}} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 8x + 17}

Câu hỏi số 707838:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^{\left| {x - 4} \right|}} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 8x + 17} \right)\). Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(f\left( {{2^{x - 4y + 1}}} \right) = f\left( {4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 4y} \right)} \right)\) và \(0 < x < 2024\) ?

A. 2023.

B. 2024.

C. 2025.

D. 1012.

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:707838

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Nhận thấy \(f\left( x \right) = {2^{\left| {x - 4} \right|}} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 8x + 17} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) và có trục đối xứng \(x = 4\)

Bài ra \(f\left( {{2^{x - 4y + 1}}} \right) = f\left( {4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 4y} \right)} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{x - 4y + 1}} = 4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 4y} \right)}\\{{2^{x - 4y + 1}} + 4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 4y} \right) = 8}\end{array}} \right.\)

Đặt \(t = x - 4y\), khi đó \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^t} = 2 - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t}\\{{2^t} = 2 + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 4y = 1}\\{x - 4y = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Nếu \(x - 4y = 1 \Leftrightarrow x = 4y + 1\)

Do \(0 < x < 2024 \Leftrightarrow 0 < 4y + 1 < 2024 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} < y < 505,75\)

Do \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) chọn \(y = \left\{ {0;1;2; \ldots ;505} \right\} \Rightarrow \) có 506 số

Nếu \(x - 4y = 2 \Leftrightarrow x = 4y + 2\)

Do \(0 < x < 2024 \Leftrightarrow 0 < 4y + 2 < 2024 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < y < 505,5\)

Do \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) chọn \(y = \left\{ {0;1;2; \ldots ;505} \right\} \Rightarrow \) có 506 số

Vậy có 1012 cặp

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.