Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^{\left| {x - 4} \right|}} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 8x + 17}
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {2^{\left| {x - 4} \right|}} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 8x + 17} \right)\). Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(f\left( {{2^{x - 4y + 1}}} \right) = f\left( {4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 4y} \right)} \right)\) và \(0 < x < 2024\) ?
Đáp án đúng là: D
Nhận thấy \(f\left( x \right) = {2^{\left| {x - 4} \right|}} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {{x^2} - 8x + 17} \right)\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) và có trục đối xứng \(x = 4\)
Bài ra \(f\left( {{2^{x - 4y + 1}}} \right) = f\left( {4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 4y} \right)} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^{x - 4y + 1}} = 4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 4y} \right)}\\{{2^{x - 4y + 1}} + 4 - 4{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {x - 4y} \right) = 8}\end{array}} \right.\)
Đặt \(t = x - 4y\), khi đó \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{2^t} = 2 - 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t}\\{{2^t} = 2 + 2{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}t}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 1}\\{t = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 4y = 1}\\{x - 4y = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)
Nếu \(x - 4y = 1 \Leftrightarrow x = 4y + 1\)
Do \(0 < x < 2024 \Leftrightarrow 0 < 4y + 1 < 2024 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} < y < 505,75\)
Do \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) chọn \(y = \left\{ {0;1;2; \ldots ;505} \right\} \Rightarrow \) có 506 số
Nếu \(x - 4y = 2 \Leftrightarrow x = 4y + 2\)
Do \(0 < x < 2024 \Leftrightarrow 0 < 4y + 2 < 2024 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < y < 505,5\)
Do \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) chọn \(y = \left\{ {0;1;2; \ldots ;505} \right\} \Rightarrow \) có 506 số
Vậy có 1012 cặp
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com