Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn điều kiện

Câu hỏi số 707840:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn điều kiện \(f'\left( x \right) = {\left( {\smallint 2f\left( x \right) + \left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} + 2x - 1}}{\rm{\;d}}x} \right)^{\rm{'}}},\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 2 \right) = {e^7}\). Biết \(f\left( 1 \right) = a.{e^2} + b.{e^5}\) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị \(T = a - b\).

A. \(T = 1\).

B. \(T = 2\).

C. \(T = 4\).

D. \(T = 3\).

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:707840

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {\smallint 2f\left( x \right) + \left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} + 2x - 1}}dx} \right)^\prime } \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2f\left( x \right) + \left( {2{x^2} + 1} \right) \cdot {e^{{x^2} + 2x - 1}}\)

\(\left( x \right) - 2f\left( x \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right) \cdot {e^{{x^2} + 2x - 1}}\)

\( \Leftrightarrow {e^{ - 2x}} \cdot f'\left( x \right) - 2{e^{ - 2x}}f\left( x \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right) \cdot {e^{{x^2} - 1}}\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right)} \right]^{\rm{'}}} = \left( {2{x^2} + 1} \right) \cdot {e^{{x^2} - 1}} = 2{x^2}{e^{{x^2} - 1}} + {e^{{x^2} - 1}} = x \cdot \left( {2x \cdot {e^{{x^2} - 1}}} \right) + x' \cdot \left( {{e^{{x^2} - 1}}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right)} \right]^{\rm{'}}} = x \cdot {\left( {{e^{{x^2} - 1}}} \right)^{\rm{'}}} + x' \cdot \left( {{e^{{x^2} - 1}}} \right) = {\left( {x \cdot {e^{{x^2} - 1}}} \right)^{\rm{'}}}\).

Suy ra \({e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right) = x \cdot {e^{{x^2} - 1}} + C\left( {\rm{*}} \right)\)

Thay \(x = 2\) vào \(\left( {{\;^{\rm{*}}}} \right)\) ta được \({e^{ - 4}} \cdot f\left( 2 \right) = 2 \cdot {e^3} + C \Leftrightarrow {e^{ - 4}} \cdot {e^7} = 2{e^3} + C \Leftrightarrow C = - {e^3}\)

Khi đó: \({e^{ - 2}} \cdot f\left( 1 \right) = 1 - {e^3} \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = {e^2} - {e^5} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = - 1}\end{array} \Rightarrow a - b = 2} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.