Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn điều kiện
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thoả mãn điều kiện \(f'\left( x \right) = {\left( {\smallint 2f\left( x \right) + \left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} + 2x - 1}}{\rm{\;d}}x} \right)^{\rm{'}}},\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 2 \right) = {e^7}\). Biết \(f\left( 1 \right) = a.{e^2} + b.{e^5}\) với \(a,b \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị \(T = a - b\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(f'\left( x \right) = {\left( {\smallint 2f\left( x \right) + \left( {2{x^2} + 1} \right){e^{{x^2} + 2x - 1}}dx} \right)^\prime } \Leftrightarrow f'\left( x \right) = 2f\left( x \right) + \left( {2{x^2} + 1} \right) \cdot {e^{{x^2} + 2x - 1}}\)
\(\left( x \right) - 2f\left( x \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right) \cdot {e^{{x^2} + 2x - 1}}\)
\( \Leftrightarrow {e^{ - 2x}} \cdot f'\left( x \right) - 2{e^{ - 2x}}f\left( x \right) = \left( {2{x^2} + 1} \right) \cdot {e^{{x^2} - 1}}\)
\( \Leftrightarrow {\left[ {{e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right)} \right]^{\rm{'}}} = \left( {2{x^2} + 1} \right) \cdot {e^{{x^2} - 1}} = 2{x^2}{e^{{x^2} - 1}} + {e^{{x^2} - 1}} = x \cdot \left( {2x \cdot {e^{{x^2} - 1}}} \right) + x' \cdot \left( {{e^{{x^2} - 1}}} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\left[ {{e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right)} \right]^{\rm{'}}} = x \cdot {\left( {{e^{{x^2} - 1}}} \right)^{\rm{'}}} + x' \cdot \left( {{e^{{x^2} - 1}}} \right) = {\left( {x \cdot {e^{{x^2} - 1}}} \right)^{\rm{'}}}\).
Suy ra \({e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right) = x \cdot {e^{{x^2} - 1}} + C\left( {\rm{*}} \right)\)
Thay \(x = 2\) vào \(\left( {{\;^{\rm{*}}}} \right)\) ta được \({e^{ - 4}} \cdot f\left( 2 \right) = 2 \cdot {e^3} + C \Leftrightarrow {e^{ - 4}} \cdot {e^7} = 2{e^3} + C \Leftrightarrow C = - {e^3}\)
Khi đó: \({e^{ - 2}} \cdot f\left( 1 \right) = 1 - {e^3} \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = {e^2} - {e^5} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = - 1}\end{array} \Rightarrow a - b = 2} \right.\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com