Cho hai số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {w - 3 - 4i} \right| = 1,\left| {{z^2} + 4} \right| = 4\left| z

Câu hỏi số 707841:

Vận dụng cao

Cho hai số phức \(z,w\) thỏa mãn \(\left| {w - 3 - 4i} \right| = 1,\left| {{z^2} + 4} \right| = 4\left| z \right|\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của \(\left| {z - \left( {2 + 2i} \right)\overline {\rm{w}} } \right|\). Giá trị \(M - 2m\) thuộc khoảng

A. \(\left( {4;4,5} \right)\).

B. \(\left( {4,5;5} \right)\).

C. \(\left( {3,5;4} \right)\).

D. \(\left( {3;3,5} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:707841

Phương pháp giải

Giải chi tiết

\(\left| {w - 3 - 4i} \right| = 1 \Rightarrow \left| {\left( {2 + 2i} \right)\overline w - 14 + 2i} \right| = 2\sqrt 2 \).

Đặt \(\left( {2 + 2i} \right)\overline w = k\) và gọi \(A\) là điểm biểu diễn cho số phức \(k\).

Suy ra: tập hợp điểm \(A\) là đường tròn tâm \(K\left( {14; - 2} \right),R = 2\sqrt 2 \).

Gọi \(B\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(z = x + yi\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\).

Có \(\left| {{z^2} + 4} \right| = 4\left| z \right| \Rightarrow \left| {\left( {{x^2} - {y^2} + 4} \right) + 2xyi} \right| = x + yi|\)

\( \Rightarrow {\left( {{x^2} - {y^2} + 4} \right)^2} + 4{x^2}{y^2} = 16{x^2} + 16{y^2} \Rightarrow {\left( {{x^2} + {y^2} - 4} \right)^2} = 16{y^2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} - 4y - 4 = 0}\\{{x^2} + {y^2} + 4y - 4 = 0}\end{array}} \right.\).

Tập hợp điểm \(B\) là đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {0;2} \right),{R_1} = 2\sqrt 2 \) hoặc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {0; - 2} \right),{R_2} = 2\sqrt 2 \).

Ta có: \(|z - \left( {2 + 2i} \right)\overline w {|_{{\rm{max}}}} = A{B_{{\rm{max}}}}\) và \(|z - \left( {2 + 2i} \right)\overline w {|_{{\rm{min}}}} = A{B_{{\rm{min}}}}\).

+) \(M = {I_1}K + {R_1} + R = \sqrt {{{14}^2} + {4^2}} + 2\sqrt 2 + 2\sqrt 2 = 2\sqrt {53} + 4\sqrt 2 \).

+) \(m = {I_2}K - {R_2} - R = \sqrt {{{14}^2} + {0^2}} - 2\sqrt 2 - 2\sqrt 2 = 14 - 4\sqrt 2 \).

Khi đó: \(M - 2m = 2\sqrt {53} + 12\sqrt 2 - 28 \approx 3,53\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.