Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} - \left( {m + 14} \right)x -

Câu hỏi số 707842:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^3} + 5{x^2} - \left( {m + 14} \right)x - 2m,\forall x \in \mathbb{R}\) và hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{1}{3}f\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + \dfrac{4}{3}\left( {{x^3} - 3x} \right)m\), với \(m\) là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để đồ thị hàm số \(y = g'\left( x \right)\) cắt trục hoành tại 9 điểm phân biệt?

A. 37.

B. 35.

C. 36.

D. 34.

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:707842

Phương pháp giải

Giải chi tiết

\(g'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 1} \right)f'\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + 4\left( {{x^2} - 1} \right)m = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {f'\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + 4m} \right)\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm 1}\\{f'\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + 4m = 0({\rm{*}}}\end{array}} \right.\)

\(\left( {\rm{*}} \right) \Rightarrow {\left( {{x^3} - 3x + 1} \right)^3} + 5{\left( {{x^3} - 3x + 1} \right)^2} - \left( {m + 14} \right)\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + 2m = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} - 3x + 1 = 2}\\{{{\left( {{x^3} - 3x + 1} \right)}^2} + 7\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) = m}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,87 \ldots }\\{x = - 0,3 \ldots }\\{x = - 1,5 \ldots }\\{{{\left( {{x^3} - 3x + 1} \right)}^2} + 7\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) = m}\end{array}} \right.} \right.\)

Xét \(h\left( x \right) = {\left( {{x^3} - 3x + 1} \right)^2} + 7\left( {{x^3} - 3x + 1} \right)\)

\(h'\left( x \right) = \left( {3{x^2} - 3} \right)\left[ {2\left( {{x^3} - 3x + 1} \right) + 7} \right];h'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\\{2{x^3} - 6x + 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\\{x = a \in \left( { - 3; - 2} \right)}\end{array}} \right.} \right.\)

Bảng biến thiên

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 9 điểm phân biệt thì \( - 6 < m < 30\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 5;0; \ldots ;29} \right\}\).

Vậy có 35 giá trị của m thoả mãn.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.