Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N xác định bởi \(\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB}

Câu hỏi số 708055:

Nhận biết

Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N xác định bởi $\overrightarrow {AM} = 2\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DB} + x\overrightarrow {DC} $. Giá trị của $x$ để các véc-tơ $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {MN} $ đồng phẳng.

Xem lời giải

Câu hỏi:708055

Phương pháp giải

Cho ba véctơ $\vec a,\vec b,\vec c$, trong đó véctơ $\vec a,\vec b$ không cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba véctơ $\vec a$, $\vec b,\vec c$ đồng phẳng là có các số m, n sao cho $\vec c = m\vec a + $ $n\vec b$. Hơn nữa các số m, n là duy nhất.

Giải chi tiết

Ta có

$\overrightarrow {DN} = \overrightarrow {DB} + x\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow {\rm{ }}\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} + x(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} )$

$ \Leftrightarrow {\rm{ }}\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AD} $

Suy ra $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = - \overrightarrow {AB} + (x + 3)\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AD} $.

Đề $\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {MN} $ đồng phẳng thì phải tồn tại các hệ số $k, l$ thỏa

$\overrightarrow {MN} = k\overrightarrow {AD} + l\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow - \overrightarrow {AB} + (x + 3)\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AD} = k\overrightarrow {AD} + l(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )$

$ \Leftrightarrow - \overrightarrow {AB} + (x + 3)\overrightarrow {AC} - x\overrightarrow {AD} = - l\overrightarrow {AB} + l\overrightarrow {AC} + k\overrightarrow {AD} $

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 = - l}\\{x + 3 = l}\\{ - x = k}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{l = 1}\\{x = - 2}\\{k = 2.}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $x = - 2$ thì ba véc-tơ đồng phẳng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.