Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số dưới đây: a) \(y = \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\) b) \(y

Câu hỏi số 709290:

Vận dụng

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số dưới đây:

a) \(y = \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\)

b) \(y = \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 1}}\)

c) \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 1}}{x}\)

d) \(y = \dfrac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:709290

Phương pháp giải

Sơ đồ khảo sát hàm số \(y = f(x)\) :

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:

- Tính đạo hàm \(y'\). Tìm các điểm tại đó \({y^\prime }\) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

- Xét dấu \(y'\) để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.

- Tìm cực trị của hàm số.

- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lâpp bảng biến thiên của hàm số.

3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

Giải chi tiết

a) \(y = \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}}\).

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).

2. Sự biến thiên: Viết \(y = x + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}\).

- Ta có: \({y^\prime } = 1 - \dfrac{1}{{{{(x - 2)}^2}}} = \dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}}\). Vậy \(y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).

- Trên các khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((3; + \infty ),y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này. Trên các khoảng \((1;2)\) và \((2;3),y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) với \({y_{CD}} = 1\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\) với \({y_{CT}} = 5\).

- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x - 1 - \dfrac{1}{x}}}{{1 - \dfrac{2}{x}}} = - \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x - 1 - \dfrac{1}{x}}}{{1 - \dfrac{2}{x}}} = + \infty \).

- Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = - \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [y - (x + 1)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{{x - 2}} = 0;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [y - (x + 1)] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{{x - 2}} = 0.{\rm{ }}\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x + 1\).

- Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \(\left( {0;\dfrac{1}{2}} \right)\).

- Ta có \(y = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - x - 1}}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\) hoặc \(x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(\left( {\dfrac{{1 - \sqrt 5 }}{2};0} \right)\) và \(\left( {\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2};0} \right)\).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 1}}\).

1. Tập xác định của hàm số: \(\mathbb{R}\backslash \{ - 1\} \).

2. Sự biến thiên:

- Viết \(y = x - \dfrac{2}{{x + 1}}\), ta có \({y^\prime } = 1 + \dfrac{2}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne - 1\).

- Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1; + \infty )\).

- Hàm số không có cực trị.

\( - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{x + 1 - \dfrac{2}{x}}}{{1 + \dfrac{1}{x}}} = - \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{x + 1 - \dfrac{2}{x}}}{{1 + \dfrac{1}{x}}} = + \infty {\rm{. }}\)

- Tiệm cận:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right) = + \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right) = - \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } [y - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right) = 0;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } [y - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \dfrac{2}{{x + 1}}} \right) = 0.{\rm{ }}\)

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\), tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x\).

- Bảng biến thiên:

3. Đồ thị

- Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm \((0; - 2)\).

- Ta có \(y = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + x - 2}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) hoăc \(x = 1\). Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm \(( - 2;0)\) và \((1;0)\).

- Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(I( - 1; - 1)\) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 1}}{x}\).

1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

2) Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

Ta viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = - x + \dfrac{1}{x}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } y = + \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \)

Do đó, đường thẳng \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } (y + x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{1}{x} = 0,\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } (y + x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{1}{x} = 0\).

Do đó, đường thẳng \(y = - x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\( - {y^\prime } = - \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}},{y^\prime } < 0,\forall x \ne 0\)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((0; + \infty )\).

3) Đồ thị

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm \(( - 1;0),(1;0)\).

- Đồ thị hàm số không cắt trục tung.

\( \cdot \) Đồ thị hàm số đi qua các điểm \(( - 1;0),(1;0),\left( { - 2;\dfrac{3}{2}} \right),\left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right),\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right),\left( {2; - \dfrac{3}{2}} \right)\).

\( \cdot \) Đồ thị hàm số nhận giao điểm \(O(0;0)\) của hai đường tiệm cận của đồ thị làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạoo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Vậy đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ - {x^2} + 1}}{x}\) được cho ở Hình.

d) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\).

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} \).

2. Sự biến thiên:

Đạo hàm \(y' = \dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{{(x - 1)}^2}}}\). Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2\).

Trên các khoảng \(( - \infty ;0)\) và \((2; + \infty ),y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên các khoảng \((0;1)\) và \((1;2),y' < 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

- Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) và \({y_{CT}} = 6\).

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = 2\).

- Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty {\rm{. }}\)

Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{{x^2} + 2x - 2}}{{{x^2} - x}} = 1\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\dfrac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \dfrac{{3x - 2}}{{x - 1}} = 3\).

Suy ra đường thẳng \(y = x + 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = - \infty ;\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = + \infty \).

Suy ra đường thẳng \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

- Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có \(y = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt 3 \) hoặc \(x = - 1 - \sqrt 3 \).

Vậy đồ thị hàm số giao với trục \(Ox\) tại điểm \(( - 1 + \sqrt 3 ;0)\) và điểm \(( - 1 - \sqrt 3 ;0)\).

Đồ thị hàm số giao với trục \(Oy\) tại điểm \((0;2)\).

Đồ thị hàm số được biểu diễn trên Hình.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm \(I(1;4)\). Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận \(x = 1\) và \(y = x + 3\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.