Cho \(a,b,c\) là số thực dương thỏa mãn \(ab \ge 12;bc \ge 8\). Chứng minh rằng: \(\left( {a + b + c}
Cho \(a,b,c\) là số thực dương thỏa mãn \(ab \ge 12;bc \ge 8\). Chứng minh rằng: \(\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) + \dfrac{8}{{abc}} \ge \dfrac{{121}}{{12}}\)
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) để đánh giá VT của bất đẳng thức.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(\dfrac{a}{{18}} + \dfrac{b}{{24}} + \dfrac{2}{{ab}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{a}{{18}} \cdot \dfrac{b}{{24}} \cdot \dfrac{2}{{ab}}}} = \dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{a}{9} + \dfrac{c}{6} + \dfrac{2}{{ca}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{a}{9} \cdot \dfrac{c}{6} \cdot \dfrac{2}{{ca}}}} = 1\)
\(\dfrac{b}{{16}} + \dfrac{c}{8} + \dfrac{2}{{bc}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{b}{{16}} \cdot \dfrac{c}{8} \cdot \dfrac{2}{{bc}}}} = \dfrac{3}{4}\)
\(\dfrac{a}{9} + \dfrac{c}{6} + \dfrac{b}{{12}} + \dfrac{8}{{abc}} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{a}{9} \cdot \dfrac{c}{6} \cdot \dfrac{b}{{12}} \cdot \dfrac{8}{{abc}}}} = \dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{{13a}}{{18}} + \dfrac{{13b}}{{24}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13a}}{{18}} \cdot \dfrac{{13b}}{{24}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13}}{{18}} \cdot \dfrac{{13}}{{24}} \cdot 12} = \dfrac{{13}}{3}\)
\(\dfrac{{13b}}{{48}} + \dfrac{{13c}}{{24}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13b}}{{48}} \cdot \dfrac{{13c}}{{24}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13}}{{48}} \cdot \dfrac{{13}}{{24}} \cdot 8} = \dfrac{{13}}{4}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
\(\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) + \dfrac{8}{{abc}} \ge \dfrac{{121}}{{12}}\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = 3;b = 4;c = 2\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com