Cho \(a,b,c\) là số thực dương thỏa mãn \(ab \ge 12;bc \ge 8\). Chứng minh rằng: \(\left( {a + b + c}

Câu hỏi số 709370:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là số thực dương thỏa mãn \(ab \ge 12;bc \ge 8\). Chứng minh rằng: \(\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) + \dfrac{8}{{abc}} \ge \dfrac{{121}}{{12}}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:709370

Phương pháp giải

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) để đánh giá VT của bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\dfrac{a}{{18}} + \dfrac{b}{{24}} + \dfrac{2}{{ab}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{a}{{18}} \cdot \dfrac{b}{{24}} \cdot \dfrac{2}{{ab}}}} = \dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{a}{9} + \dfrac{c}{6} + \dfrac{2}{{ca}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{a}{9} \cdot \dfrac{c}{6} \cdot \dfrac{2}{{ca}}}} = 1\)

\(\dfrac{b}{{16}} + \dfrac{c}{8} + \dfrac{2}{{bc}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{b}{{16}} \cdot \dfrac{c}{8} \cdot \dfrac{2}{{bc}}}} = \dfrac{3}{4}\)

\(\dfrac{a}{9} + \dfrac{c}{6} + \dfrac{b}{{12}} + \dfrac{8}{{abc}} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{a}{9} \cdot \dfrac{c}{6} \cdot \dfrac{b}{{12}} \cdot \dfrac{8}{{abc}}}} = \dfrac{4}{3}\)

\(\dfrac{{13a}}{{18}} + \dfrac{{13b}}{{24}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13a}}{{18}} \cdot \dfrac{{13b}}{{24}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13}}{{18}} \cdot \dfrac{{13}}{{24}} \cdot 12} = \dfrac{{13}}{3}\)

\(\dfrac{{13b}}{{48}} + \dfrac{{13c}}{{24}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13b}}{{48}} \cdot \dfrac{{13c}}{{24}}} \ge 2\sqrt {\dfrac{{13}}{{48}} \cdot \dfrac{{13}}{{24}} \cdot 8} = \dfrac{{13}}{4}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

\(\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {\dfrac{1}{{ab}} + \dfrac{1}{{bc}} + \dfrac{1}{{ca}}} \right) + \dfrac{8}{{abc}} \ge \dfrac{{121}}{{12}}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = 3;b = 4;c = 2\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.