Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}(x - 2)\left( {{x^2} - 6x +

Câu hỏi số 709498:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'(x) = {x^2}(x - 2)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Ghép các mệnh đề ở cột A vào các giá trị tương ứng ở cột B.

Xem lời giải

Câu hỏi:709498

Phương pháp giải

Biện luận số nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\).

Giải chi tiết

1 – e; 2 – f; 3 – c; 4 - b

1. Vì đạo hàm của hàm số có bậc lẻ nên có ít nhất 1 điểm làm đổi dấu đạo hàm

\( \Rightarrow \) Không có giá trị của m để hàm số đơn điệu.

2. Để hàm số có 3 cực trị thì \(f'\left( x \right) = 0\) phải có 3 nghiệm bội lẻ.

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2}(x - 2)\left( {{x^2} - 6x + m} \right) = 0\) có 3 nghiệm bội lẻ.

\( \Leftrightarrow {x^2} - 6x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9 - m > 0\\{2^2} - 6.2 + m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 9\\m \ne 8\end{array} \right.\)

Vậy có 7 giá trị nguyên dương của m thoả mãn.

3. Để hàm số có hai khoảng biến thiên thì \(f'\left( x \right) = 0\) phải có 1 nghiệm bội lẻ.

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow {x^2}(x - 2)\left( {{x^2} - 6x + m} \right) = 0\) có 1 nghiệm bội lẻ.

TH2: Phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\) có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.

Khi đó: \(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 9\).

TH2: Phương trình \({x^2} - 6x + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm \(x = 2\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9 - m > 0\\{2^2} - 6.2 + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 9\\m = 8\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Số giá trị nguyên dương thuộc khoảng \(\left[ {0;20} \right]\) của \(m\) để hàm số có hai khoảng biến thiên: 13 giá trị.

4. Ta có: \(g'(x) = f'(1 - x) = - {(1 - x)^2}( - x - 1)\left[ {{{(1 - x)}^2} - 6(1 - x) + m} \right]\)

\( = {(x - 1)^2}(x + 1)\left( {{x^2} + 4x + m - 5} \right)\)

Hàm số \(g(x)\) nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\)

\( \Leftrightarrow g'(x) \le 0,\forall x < - 1\,\,\,\,\left( * \right)\), (dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm).

Với \(x < - 1\) thì \({(x - 1)^2} > 0\) và \(x + 1 < 0\) nên \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m - 5 \ge 0,\forall x < - 1\) \( \Leftrightarrow m \ge - {x^2} - 4x + 5,\forall x < - 1\)

Xét hàm số \(y = - {x^2} - 4x + 5\) trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\), ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra \(m \ge 9\).

Kết hợp với \(m\) thuộc đoạn \([ - 20;20]\) và \(m\) nguyên nên \(m \in \{ 9;10;11; \ldots ;20\} \).

Vậy có 12 số nguyên \(m\) thỏa mãn đề bài.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.