Xét phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\left( {a,b,c \in R,a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phức

Câu hỏi số 710342:

Vận dụng cao

Xét phương trình bậc hai \(a{z^2} + bz + c = 0\left( {a,b,c \in R,a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phức \({z_1},{z_2}\) cơ phần ảo khác 0 và \(\left| {2{z_1} - \dfrac{1}{7}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\). Giả sử \(\left| {{z_1}} \right| = \dfrac{1}{{\sqrt k }}\) và \(w\) là số phức thỏa mãn \(c{w^2} + bw + a = 0\), có bao nhiêu số nguyên dương \(k\) sao cho đúng với mỗi \(k\) tồn tại đúng 5 số phức \({z_{:\;}}\) có phần ảo nguyên, \({z_3} - w\) là số thuần ảo và \(\left| {{z_3}} \right| \le \left| w \right|\) ?

A. 11.

B. 5 .

C. 6 .

D. 10.

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:710342

Giải chi tiết

Theo giả thiết ta có: \(\left| {2{z_1} - \dfrac{1}{7}} \right| = \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - \overline {{z_1}} } \right|\)\( \Leftrightarrow {\left| {2{z_1} - \dfrac{1}{7}} \right|^2} = {\left| {{z_1} - \overline {{z_1}} } \right|^2}\).

Đặt \({z_1} = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\), thay vào biểu thức trên ta được:

\({\left( {2x - \dfrac{1}{7}} \right)^2} + 4{y^2} = 4{y^2} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{14}}\)\( \Rightarrow {z_{1,2}} = \dfrac{1}{{14}} \pm yi\,\,,\,\,(y \in \mathbb{R})\).

Bài toán phụ: nếu phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\) có \(2\) nghiệm \({z_1},\,{z_2}\) thì khi đó phương trình \(c{z^2} + bz + a = 0\,\) có \(2\) nghiệm là \(\dfrac{1}{{{z_1}}},\,\,\dfrac{1}{{{z_2}}}\).

Áp dụng: Phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0\) có \(2\) nghiệm \({z_1},\,{z_2}\) thì phương trình \(c{w^2} + bw + a = 0\,\) có nghiệm \(w = \dfrac{1}{z}\) \( \Rightarrow \left| w \right| = \dfrac{1}{{\left| z \right|}} = \sqrt k \)\( \Rightarrow {\left| w \right|^2} = \dfrac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}} = k\).

Mà \({z_1} = \dfrac{1}{{14}} + yi\,\,,\,\,(y \in \mathbb{R})\) nên ta suy ra

\(w = \dfrac{1}{{{z_1}}} = \dfrac{{\overline {{z_1}} }}{{{z_1}.\overline {{z_1}} }} = \dfrac{{\overline {{z_1}} }}{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left| {{z_1}} \right|}^2}}}.\overline {{z_1}} = k\overline {{z_1}} = k\left( {\dfrac{1}{{14}} - yi} \right)\) với \(k\)là số nguyên dương.

Mặt khác, đặt \({z_3} = m + ni\,\,(m \in \mathbb{R},\,\,n \in \mathbb{Z})\).

Do \({z_3} - w\) là số thuần ảo, nên phần thực của \(\left( {{z_3} - w} \right)\) bằng 0 hay \(m = \dfrac{k}{{14}}\).

Theo giả thiết: \(\left| {{z_3}} \right| \le \left| w \right| \Leftrightarrow {\left| {{z_3}} \right|^2} \le {\left| w \right|^2} = k\), nên ta có : \({m^2} + {n^2} = \dfrac{{{k^2}}}{{196}} + {n^2} \le k \Rightarrow {n^2} \le k - \dfrac{{{k^2}}}{{196}} = f(k).\)

Do có đúng \(5\)số phức \({z_3}\), nghĩa là tồn tại đúng \(5\) giá trị \(n \in \mathbb{Z}\) lần lượt là \(\left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\) nên

\({n^2} \in \left[ {4;9} \right)\), suy ra \(f(k) \in \left[ {4;9} \right)\) hay \(4 \le k - \dfrac{{{k^2}}}{{196}} < 9\).

Sử dụng máy tính CASIO ta tìm được \(\left\{ \begin{array}{l}4,09 < k < 191,91\\\left[ \begin{array}{l}k < 9,45\\k > 186,54\end{array} \right.\end{array} \right.\);

mà \(k \in {\mathbb{N}^*}\) nên: \(\left[ \begin{array}{l}5 \le k \le 9\\187 \le k \le 191\end{array} \right.\) hay \(k \in \left\{ {5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9\,;\,\,187\,;\,\,188\,;\,\,189\,;\,\,190\,;\,\,191} \right\}\), tức là có \(10\) giá trị \(k\) nguyên dương thỏa mãn đầu bài.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.