Trong không gian \(0xyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{5} = \dfrac{{z - 1}}{{
Trong không gian \(0xyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{5} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + z = 0\). Đường thẳng đối xứng với \(\Delta \) qua \(\left( P \right)\) có phương trình là:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 5t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).
Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( P \right)\):
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 5t\\z = 1 - t\\2x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\\z = 2\\t = - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right) \cap \Delta = A\left( {0; - 2;2} \right)\).
Lấy điểm \(M\left( {1;3;1} \right) \in \Delta \), gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) suy ra \(d\) có phương trình tham số là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2{t_1}\\y = 3 + {t_1}\\z = 1 + {t_1}\end{array} \right.\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(H = d \cap \left( P \right)\).
Tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2{t_1}\\y = 3 + {t_1}\\z = 1 + {t_1}\\2x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\\z = 0\\{t_1} = - 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow H\left( { - 1;2;0} \right)\).
Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(\left( P \right)\) nên \(H\) là trung điểm của \(MM'\)\( \Rightarrow M'\left( { - 3;1; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AM'} = \left( { - 3;3; - 3} \right) = - 3.\left( {1; - 1;1} \right)\) .
Đường thẳng \(\Delta '\) đối xứng với \(\Delta \) qua \(\left( P \right)\) là đường thẳng có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;1} \right)\) nên loại các phương án \(B,\,\,D\).
Thay tọa độ 2 điểm \(A\) và \(M'\) lần lượt vào các phương án \(A,\,\,B\), ta chọn đáp án \(A.\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com