Trong không gian \(0xyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{5} = \dfrac{{z - 1}}{{

Câu hỏi số 710343:

Vận dụng cao

Trong không gian \(0xyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 3}}{5} = \dfrac{{z - 1}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y + z = 0\). Đường thẳng đối xứng với \(\Delta \) qua \(\left( P \right)\) có phương trình là:

A. \(\dfrac{{x + 4}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 1}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\)

B. \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\)

C. \(\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{1}\)

D. \(\dfrac{{x + 3}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 1}}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:710343

Giải chi tiết

Đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 5t\\z = 1 - t\end{array} \right.\).

Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( P \right)\):

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 5t\\z = 1 - t\\2x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 2\\z = 2\\t = - 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( P \right) \cap \Delta = A\left( {0; - 2;2} \right)\).

Lấy điểm \(M\left( {1;3;1} \right) \in \Delta \), gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) suy ra \(d\) có phương trình tham số là \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2{t_1}\\y = 3 + {t_1}\\z = 1 + {t_1}\end{array} \right.\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì \(H = d \cap \left( P \right)\).

Tọa độ của \(H\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2{t_1}\\y = 3 + {t_1}\\z = 1 + {t_1}\\2x + y + z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 2\\z = 0\\{t_1} = - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow H\left( { - 1;2;0} \right)\).

Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(\left( P \right)\) nên \(H\) là trung điểm của \(MM'\)\( \Rightarrow M'\left( { - 3;1; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM'} = \left( { - 3;3; - 3} \right) = - 3.\left( {1; - 1;1} \right)\) .

Đường thẳng \(\Delta '\) đối xứng với \(\Delta \) qua \(\left( P \right)\) là đường thẳng có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1; - 1;1} \right)\) nên loại các phương án \(B,\,\,D\).

Thay tọa độ 2 điểm \(A\) và \(M'\) lần lượt vào các phương án \(A,\,\,B\), ta chọn đáp án \(A.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.