Xét hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( { - 1} \right) = - 6\). Hàm số \(y =

Câu hỏi số 710347:

Vận dụng cao

Xét hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có \(f\left( { - 1} \right) = - 6\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right),f'\left( 4 \right) = 0\) và \(f'\left( { - 1} \right) = a\). Có bao nhiêu số nguyên \(a \in \left( { - 100;0} \right)\) sao cho đúng với mỗi \(a\), hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}} \right|\) có đúng 3 điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) ?

A. 88 .

B. 12 .

C. 11 .

D. 87 .

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:710347

Giải chi tiết

Do \(y = f'\left( x \right)\) là hàm số bậc ba, đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) và có \(f'\left( 4 \right) = 0\) và \(f'\left( { - 1} \right) = a\) nên ta có bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) như sau

Xét \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}\), \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \dfrac{{12}}{{{x^3}}}\), xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Với \(g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right) + 6 = 0\) và \(g\left( 4 \right) = f\left( 4 \right) + \dfrac{3}{8} < - 6 + \dfrac{3}{8} = - \dfrac{{45}}{8}\)

Mặt khác

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}} \right] = + \infty ,\,\,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left[ {f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}} \right] = + \infty ,\,\,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left[ {f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}} \right] = + \infty ,\,\,\\\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}} \right] = + \infty \end{array}\)

nên \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}\) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn \(0\).

Vậy hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}} \right|\) có 3 điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Suy ra, để hàm \(y = \left| {f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}} \right|\) có đúng 3 điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) thì \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \dfrac{6}{{{x^2}}}\) không có cực trị trong khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\), suy ra \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \dfrac{{12}}{{{x^3}}}\) không có nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).

Vậy \(f'\left( x \right)\) không cắt \(h\left( x \right) = \dfrac{{12}}{{{x^3}}}\) trong khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\)\( \Rightarrow f'\left( { - 1} \right) = a \ge h\left( { - 1} \right) = \dfrac{{12}}{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}} = - 12\).

Kết hợp với điều kiện, ta có \(a \in \left[ { - 12;0} \right)\), vậy có 12 giá trị nguyên của \(a\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.