Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{5}{{{x^3}}} + \ln \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\). Có bao nhiêu số nguyên

Câu hỏi số 710348:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{5}{{{x^3}}} + \ln \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\). Có bao nhiêu số nguyên \(a \in \left( { - \infty ;2100} \right)\) thỏa mãn \(f\left( {a - 2023} \right) + f\left( {5a - 29} \right) \ge 0\) ?

A. 1758 .

B. 2093

C. 336.

D. 410 .

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:710348

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} > 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}x < - 2\\x > 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right) = D\).

Ta có \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{5}{{{{\left( { - x} \right)}^3}}} + \ln \dfrac{{ - x + 2}}{{ - x - 2}} = - \dfrac{5}{{{x^3}}} - \ln \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}} = - \left( {\dfrac{5}{{{x^3}}} + \ln \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}} \right) = - f\left( x \right),\,\,\forall x \in D\)

\( \Rightarrow \) hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ trên tập xác định \(D\).

Ta có \(f\left( x \right) = \dfrac{5}{{{x^3}}} + \ln \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\,\,\, \Rightarrow \,f'\left( x \right) = - \dfrac{{15}}{{{x^4}}} - \dfrac{4}{{{x^2} - 4}} < 0\) với \(\forall x \in \,\left( { - \infty \,;\, - 2} \right) \cup \left( {2\,;\, + \infty } \right)\), nên hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty \,;\, - 2} \right)\) và \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\). Và \(f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x < - 2\); \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x > 2\).

Khi đó: \(f\left( {a - 2023} \right) + f\left( {5a - 29} \right) \ge 0 \Leftrightarrow f\left( {a - 2023} \right) \ge - f\left( {5a - 29} \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( {a - 2023} \right) \ge f\left( { - 5a + 29} \right){\rm{ }}\left( * \right)\).

+ Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2023 < - 2\\ - 5a + 29 < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{31}}{5} < a < 2025\).

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow a - 2023 \le - 5a + 29 \Leftrightarrow a \le 342\).

Do đó, \(\dfrac{{31}}{5} < a \le 342\).

Mà \(a\) nguyên, \(a \in \left( { - \infty \,;\,2100} \right)\,\, \Rightarrow \,a \in \left\{ {7\,;\,8\,;\,9\,;\,...\,;\,342} \right\}\).

+ Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2023 > 2\\ - 5a + 29 > 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 2025\\a < \dfrac{{27}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \) vô nghiệm.

+ Trường hợp 3: \(a - 2023\) và \( - 5a + 29\) mỗi số thuộc 1 tập \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Do \(f\left( x \right) < 0,\,\,\forall x < - 2\); \(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x > 2\) nên \(\left( * \right)\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2023 > 2\\ - 5a + 29 < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 2025\\a > \dfrac{{31}}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow a > 2025.\)

Mà \(a\) nguyên, \(a \in \left( { - \infty \,;\,2100} \right)\,\, \Rightarrow \,a \in \left\{ {2026;2027\,;202\,8\,\,;\,...\,;\,2099} \right\}\).

Vậy có \(410\) số nguyên \(a\) thỏa mãn đề bài.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.