Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right),B\left( {2; - 4; - 1} \right)\) và mặt
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right),B\left( {2; - 4; - 1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) đi qua \(A\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) (với \(c > 0)\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(IAM\) là tam giác tù, có diện tích bằng \(2\sqrt 7 \) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(IA\) lớn nhất. Giá trị của \(a + b + c\) thuộc khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng là: A
Mặt cầu có tâm \(I\) bán kính\(R = 4\); \({S_{AIM}} = \dfrac{1}{2}{.4^2}.\sin \angle {AIM} = 2\sqrt 7 \Rightarrow \sin \angle {AIM} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\).
Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AI\).
Ta có: \(\sin \angle {HIM} = \sin \left( {180^\circ - \angle {AIM}} \right) \Rightarrow HM = \sqrt 7 \).
\(\overrightarrow {IH} = \dfrac{{IH}}{{IA}}\overrightarrow {AI} \Rightarrow H\left( {1;5; - 1} \right)\).
Vậy \(M\) thuộc giao tuyến \(\left( C \right)\) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(H\) vuông góc với \(AI\) và mặt cầu\(\left( S \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right):y - 5 = 0\).
Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)
\( \Rightarrow K\left( {2;5; - 1} \right)\).
\(K\) nằm trong đường tròn giao tuyến, suy ra \(d\left( {IA,BM} \right) \le HK = 1\).
\(d{\left( {IA,BM} \right)_{\max }} = 1\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot KM\\M \in \left( {H;\sqrt 7 } \right)\end{array} \right.\).
Suy ra \(M\left( {2;5; - 1 + \sqrt 6 } \right)\).
Vậy \(a + b + c = 6 + \sqrt 6 \in \left( {8;\dfrac{{17}}{2}} \right)\).
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com