Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right),B\left( {2; - 4; - 1} \right)\) và mặt

Câu hỏi số 710346:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right),B\left( {2; - 4; - 1} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) đi qua \(A\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) (với \(c > 0)\) thuộc \(\left( S \right)\) sao cho \(IAM\) là tam giác tù, có diện tích bằng \(2\sqrt 7 \) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BM\) và \(IA\) lớn nhất. Giá trị của \(a + b + c\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {8;\dfrac{{17}}{2}} \right)\).

B. \(\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right)\).

C. \(\left( {\dfrac{{17}}{2};9} \right)\).

D. \(\left( {\dfrac{5}{2};3} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:710346

Giải chi tiết

Mặt cầu có tâm \(I\) bán kính\(R = 4\); \({S_{AIM}} = \dfrac{1}{2}{.4^2}.\sin \angle {AIM} = 2\sqrt 7 \Rightarrow \sin \angle {AIM} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{4}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của điểm \(I\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AI\).

Ta có: \(\sin \angle {HIM} = \sin \left( {180^\circ - \angle {AIM}} \right) \Rightarrow HM = \sqrt 7 \).

\(\overrightarrow {IH} = \dfrac{{IH}}{{IA}}\overrightarrow {AI} \Rightarrow H\left( {1;5; - 1} \right)\).

Vậy \(M\) thuộc giao tuyến \(\left( C \right)\) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(H\) vuông góc với \(AI\) và mặt cầu\(\left( S \right)\).

Mặt phẳng \(\left( P \right):y - 5 = 0\).

Gọi \(K\) là hình chiếu vuông góc của \(B\) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

\( \Rightarrow K\left( {2;5; - 1} \right)\).

\(K\) nằm trong đường tròn giao tuyến, suy ra \(d\left( {IA,BM} \right) \le HK = 1\).

\(d{\left( {IA,BM} \right)_{\max }} = 1\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot KM\\M \in \left( {H;\sqrt 7 } \right)\end{array} \right.\).

Suy ra \(M\left( {2;5; - 1 + \sqrt 6 } \right)\).

Vậy \(a + b + c = 6 + \sqrt 6 \in \left( {8;\dfrac{{17}}{2}} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.