Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = {(x - 1)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\).

Câu hỏi số 710614:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = {(x - 1)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(g(x) = f\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)\) có 8 điểm cực trị là:

Xem lời giải

Câu hỏi:710614

Giải chi tiết

Ta có: \({g^\prime }(x) = \left( {3{x^2} - 6x} \right){f^\prime }\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right) = 3x(x - 2){f^\prime }\left( {{x^5} - 3{x^2} + m} \right)\)

\({g^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\\{{f^\prime }\left( {{x^5} - 3{x^2} + m} \right) = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\\{{x^3} - 3{x^2} + m = 0}\\{{x^3} - 3{x^2} + m = 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\\{{x^3} - 3{x^2} = - m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{{x^5} - 3{x^2} = - m + 2\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Xét \(h(x) = {x^3} - 3{x^2} \Rightarrow {h^\prime }(x) = 3{x^2} - 6x;{h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Để hàm số \(g(x)\) có 8 điểm cực trị thì phương trình (1),(2) phải có tổng 6 nghiệm phân biệt khác 0 và 2 . Từ bảng biến thiên \(h(x)\) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4 < - m < 0}\\{ - 4 < - m + 2 < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < m < 4}\\{2 < m < 6}\end{array} \Leftrightarrow 2 < m < 4} \right.} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.