Tính \(M = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 {\rm{\;}} +
Tính \(M = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 {\rm{\;}} + \sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {99} {\rm{\;}} + \sqrt {100} }}\)
Áp dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta nhân của tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu:
+) \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\) với \(B > 0\)
+) \(\dfrac{1}{{\sqrt A {\rm{\;}} + \sqrt B }} = \dfrac{{\sqrt A {\rm{\;}} - \sqrt B }}{{A - B}}\) với \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\)
+) \(\dfrac{1}{{\sqrt A {\rm{\;}} - \sqrt B }} = \dfrac{{\sqrt A {\rm{\;}} + \sqrt B }}{{A - B}}\) với \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\)
Ta có :
\(M = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 {\rm{\;}} + \sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {99} {\rm{\;}} + \sqrt {100} }}\)
\(\; = \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}} + \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}} + \dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 4 } \right)}} + \ldots + \dfrac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{\left( {\sqrt {99} + \sqrt {100} } \right)\left( {\sqrt {99} - \sqrt {100} } \right)}}\)
\(\; = \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{{1 - 2}} + \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{2 - 3}} + \dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }}{{3 - 4}} + \ldots + \dfrac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{99 - 100}}\)
\(\; = - 1 + \sqrt 2 - \sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 3 + \sqrt 4 - \ldots - \sqrt {99} + \sqrt {100} \)
\(\; = - 1 + \sqrt {100} \)
\(\; = - 1 + 10 = 9\)
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com