Tính \(M = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 {\rm{\;}} +

Câu hỏi số 710562:

Vận dụng cao

Tính \(M = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 {\rm{\;}} + \sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {99} {\rm{\;}} + \sqrt {100} }}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:710562

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp trục căn thức ở mẫu, ta nhân của tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu:

+) \(\dfrac{A}{{\sqrt B }} = \dfrac{{A\sqrt B }}{B}\) với \(B > 0\)

+) \(\dfrac{1}{{\sqrt A {\rm{\;}} + \sqrt B }} = \dfrac{{\sqrt A {\rm{\;}} - \sqrt B }}{{A - B}}\) với \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\)

+) \(\dfrac{1}{{\sqrt A {\rm{\;}} - \sqrt B }} = \dfrac{{\sqrt A {\rm{\;}} + \sqrt B }}{{A - B}}\) với \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\)

Giải chi tiết

Ta có :

\(M = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 {\rm{\;}} + \sqrt 4 }} + ... + \dfrac{1}{{\sqrt {99} {\rm{\;}} + \sqrt {100} }}\)

\(\; = \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}} + \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)}} + \dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 4 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 4 } \right)}} + \ldots + \dfrac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{\left( {\sqrt {99} + \sqrt {100} } \right)\left( {\sqrt {99} - \sqrt {100} } \right)}}\)

\(\; = \dfrac{{1 - \sqrt 2 }}{{1 - 2}} + \dfrac{{\sqrt 2 - \sqrt 3 }}{{2 - 3}} + \dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 4 }}{{3 - 4}} + \ldots + \dfrac{{\sqrt {99} - \sqrt {100} }}{{99 - 100}}\)

\(\; = - 1 + \sqrt 2 - \sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 3 + \sqrt 4 - \ldots - \sqrt {99} + \sqrt {100} \)

\(\; = - 1 + \sqrt {100} \)

\(\; = - 1 + 10 = 9\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.