Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g(x)
Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là:
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f(x)\) như sau
Ta có \(g(x) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) \Rightarrow {g^\prime }(x) = \left( {3{x^2} + 6x} \right) \cdot {f^\prime }\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\)
Cho \({g^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} + 6x = 0}\\{{f^\prime }\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\\{{x^3} + 3{x^2} = a;a < 0}\\{{x^3} + 3{x^2} = b;0 < b < 4}\\{{x^3} + 3{x^2} = c;c > 4}\end{array}} \right.} \right.\)
Xét hàm số \(h(x) = {x^3} + 3{x^2} \Rightarrow {h^\prime }(x) = 3{x^2} + 6x\). Cho \({h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên
Ta có đồ thị của hàm \(h(x) = {x^3} + 3{x^2}\) như sau
Từ đồ thị ta thấy:
Đường thẳng \(y = a\) cắt đồ thị hàm số \(y = h(x)\) tại 1 điểm.
Đường thẳng \(y = b\) cắt đồ thị hàm số \(y = h(x)\) tại 3 điểm.
Đường thẳng \(y = c\) cắt đồ thị hàm số \(y = h(x)\) tại 1 điểm.
Như vậy phương trình \({g^\prime }(x) = 0\) có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số \(g(x) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) có 7 cực trị.
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com