Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g(x)

Câu hỏi số 710615:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) là:

Xem lời giải

Câu hỏi:710615

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f(x)\) như sau

Ta có \(g(x) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) \Rightarrow {g^\prime }(x) = \left( {3{x^2} + 6x} \right) \cdot {f^\prime }\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\)

Cho \({g^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} + 6x = 0}\\{{f^\prime }\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\\{{x^3} + 3{x^2} = a;a < 0}\\{{x^3} + 3{x^2} = b;0 < b < 4}\\{{x^3} + 3{x^2} = c;c > 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Xét hàm số \(h(x) = {x^3} + 3{x^2} \Rightarrow {h^\prime }(x) = 3{x^2} + 6x\). Cho \({h^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên

Ta có đồ thị của hàm \(h(x) = {x^3} + 3{x^2}\) như sau

Từ đồ thị ta thấy:

Đường thẳng \(y = a\) cắt đồ thị hàm số \(y = h(x)\) tại 1 điểm.

Đường thẳng \(y = b\) cắt đồ thị hàm số \(y = h(x)\) tại 3 điểm.

Đường thẳng \(y = c\) cắt đồ thị hàm số \(y = h(x)\) tại 1 điểm.

Như vậy phương trình \({g^\prime }(x) = 0\) có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số \(g(x) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)\) có 7 cực trị.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.